politica

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FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
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DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
TALLER No 3 RELACIONES Y FUNCIONES EN R
Conceptos Preliminares Para poder comprender algunos ejercicios planteados, vamos a introducir los siguientes
conceptos:
• Funci´n Inyectiva: Sea f : A −→ B una funci´n, se dice que es inyectiva o uno-a-unocuando dados x1 , x2 ∈ A
o
o
con x1 = x2 , entonces f (x1 ) = f (x2 )∀x1 , x2 ∈ B,donde f (x1 ), f (x2 ) ∈ B.Lo anterior quiere decir que a valores
distintos de A la funci´n f asigna im´genes distintas.
o
a
• Funci´n Sobre: Sea f : A −→ B una funci´n, se dice que es sobre o sobreyectiva cuando ∀y1 ∈ B ∃x1 ∈ A tal
o
o
que y1 = f (x1 ).Lo anterior quiere decir que a cada elemento de A le corresponde un elemento en B.
• Funci´n Biyectiva: Sea f : A −→ B una funci´n, sedice que es biyectiva cuando f es inyectiva y sobre.
o
o
1. Considere los conjuntos A = {x ∈ N/x < 5} y B = {x ∈ N/3 ≤ x ≤ 5}. Para cada una de las relaciones de A en
B dadas a continuaci´n determine su dominio y rango. Haga una gr´fica de la relaci´n e indique si la relaci´n
o
a
o
o
dada es una funci´n. En caso de serlo indique si es sobre, inyectiva o biyectiva. Justifique todas susrespuestas :
o
a)
b)
c)
d)

R = {(2, 3), (3, 3), (1, 3), (4, 4)}
S = {(1, 3), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}
T = {(1, 3), (1, 4), (1, 5)}
U = {(1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3)}

e)
f)
g)
h)

V = {(1, 4), (2, 3)}
W = {(2, 3), (3, 2), (1, 3), (1, 4)}
X = {(3, 3), (7, 4)}
Y = {(3, 1), (1, 3)}

2. Dados los conjuntos P = {0, 1, 3, 4, 5} y Q = {1, 2, 3, 4, 5}. Construye:
a) 5 relaciones de P enQ.
b) 5 funciones de P en Q.
c) 5 funciones sobreyectivas de P en Q.
d ) 5 funciones inyectivas de P en Q.
e) 5 funciones biyectivas de P en Q.
f ) 5 relaciones de Q en P
3. Sean A = {0, 1, 2, 5, 7} y B = {1, 2, 3, 4, 9, 10}, calcular:
a)
b)
c)
d)

R1
R2
R3
R4

= {(x, y) ∈ A × B/y < x}
= {(x, y) ∈ A × B/y = x}
= {(x, y) ∈ B × B/x > y}
= {(x, y) ∈ A × B/y = 2x + 1}

e)
f)
g)h)

R5
R6
R7
R8

= {(x, y) ∈ A × A/y = x2 }
= {(x, y) ∈ A × B/y < x + 1}
= {(x, y) ∈ B × A/y = 2x}
= {(x, y) ∈ A × B/y ≤ x − 1}

4. Realice una gr´fica de cada funci´n usando una tabla de valores para x y para y:
a
o
a)
b)
c)
d)
e)
f)

y
y
y
y
y
y

= f (x) = 2x − 3
= f (x) = x2 + 2
= f (x) = x2 − 1
= f (x) = 1 − x
= f (x) = 4x + 7
= f (x) = 2x2

g)
h)
i)
j)k)
l)

C´lculo I - Pedro Hern´ndez
a
a

y
y
y
y
y
y

= f (x) = 4x2 + 8x + 1
= f (x) = x2 + x + 1
= f (x) = 1 − x2
= f (x) = 2x
= f (x) = 5x2 + 6x − 23
= f (x) = −3x2 − 4x − 8

1

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5. ¿La relaci´n R = {(x, y) ∈ R2 /3x2 + 5y 2 = 15} es una funci´n? Explique.
o
o
6. ¿Larelaci´n R = {(x, y) ∈ R2 /y = |x|} es una funci´n? Explique.
o
o
7. ¿La relaci´n f : Z −→ R definida por y = f (x) = 3x − 7 es una funci´n sobre? Explique.
o
o
8. ¿La relaci´n g : R −→ N definida por y = |x| es una funci´n inyectiva? Explique.
o
o
9. ¿La relaci´n h : Z −→ Z definida por y = f (x) = −5x es una funci´n inyectiva? Explique.
o
o

10. ¿La relaci´n:
o

R(x) =

 2
 xsi

x∈Q

0

si

x ∈ QC


es una funci´n?
o

11. Si F (x) =

(x − 3)(x − 1)

a) Pruebe que F (2 −

√

10) = 3

12. Dadas f (x) = x2 + x + 1, g(x) = sen(x) y h(x) =

x2 − 1 calcule:

f (x + h) − f (x)
h
g(x + h) − g(x)
b)
h
h(x + h) − h(x)
c)
h
d ) g(2x) − g(3x)
a)

13. Dada f (x) =

√

2

2x − 1 y g(x) =

e−x
, determine:
2 − 3x + 1
5xC´lculo I - Pedro Hern´ndez
a
a

2

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a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)

f (3)
f (−2)
f (0)
f (a + 1)
g(a2 )
f (x + 1)
g(−9)
g(a − 1)
g(x − 1)

14. Dada g(x) =
a)
b)
c)
d)
e)

j)
k)
l)
m)
n)
n)
˜
o)

g(π)
g(−2)
g(0.001)
f (2x)
2f (x)
f (x + h)
f (x) + f (h)...