Polos Y Ceros Transformada Z

Gu´ 1: Ejercicios sobre transformada z ıa
Alumno: Guillermo M. Tabeni Couvert Profesor: Ing. Carlos A. Espinoza J.T.P.: Ing. Daniel R. Graff C´tedra de Ingenier´ Industrial a ıa Universidad Tecnol´gica Nacional, F.R.A. o 2 de julio de 2007
Objetivo: Realizar distintos ejercicios num´ricos de mano y con el uso de Matlab. e

Ejercicio 1
Para la funci´n Y (z), determinar los polos y ceros yubicarlos dentro del plano z. Los teoremas del valor o inicial y final son aplicables en dicha funci´n. ¿Por qu´? Hallar sus valores. o e Y (z) = 0, 792z 2 (z − 1)(z 2 − 0, 416z + 0, 208)

Para hallar los polos y ceros de Y (z), introducimos los comandos: z=tf(’z’); Yz=.792*z^2/((z-1)*(z^2-0.416*z+.208)) [ceros,polos,K]=zpkdata(Yz,’v’) Vemos que hay un cero doble en el origen, un polo real en 1 yun par de polos complejos conjugados: ceros = 0 0 polos = 1.0000 0.2080 + 0.4059i 0.2080 - 0.4059i K = 0.7920 Ahora, graficamos el plano z con los ceros y polos obtenidos: [num,den]=tfdata(Yz,’v’); zplane(num,den) zgrid Por el teorema del valor inicial: y(t = 0) = l´ Y (z) = l´ ım ım
z→∞

0, 792z 2 z→∞ z 3 − 1, 416z 2 + 0, 624z − 0, 208 0, 792/z = l´ ım =0 z→∞ 1 − 1, 416/z + 0, 624/z 2 − 0,208/z 3 z−1 0, 792z 2 2 − 0, 416z + 0, 208) z→1 z (z − 1)(z 0, 792z = l´ ım =1 z→1 z 2 − 0, 416z + 0, 208

Por el teorema del valor final: y(t → ∞) = l´ [1 − z −1 Y (z)] = l´ ım ım
z→1

Estos teoremas son aplicables porque, por definici´n, existen los l´ o ımites calculados. Alumno: Guillermo Tabeni, UTN, FRA, 2007 1/11

Ejercicio 2
Obtenga la transformada z de la siguiente funci´n donde a esuna constante. Grafique y compare en o Matlab la funci´n en tiempo continuo y la funci´n en tiempo discreto. o o x(t) = 1 (1 − e−at ) a

Distribuyendo, tenemos 1 e−at − a a Luego, por la transformada del escal´n y la propiedad lineal de la transformada z, o x(t) = X(z) = 1 1 − −1 ) a(1 − z a(1 − e−ak z −1 ) 1 − e−ak z −1 − 1 + z −1 = a(1 − z −1 )(1 − e−ak z −1 ) 1 z −1 (1 − e−ak ) = −1 (1 + e−ak) + z −2 e−ak a 1−z

(1)

En el Matlab comparamos la respuesta del sistema continuo (en rojo) con la del sistema discreto (azul): num=[0 1-exp(-1) 0]; den=[1 -1-exp(-1) exp(-1)]; t=0:0.2:10; xt=(1-exp(-t)); plot(t,xt,’r’) hold; impz(num,den)

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Ejercicio 3
Para la funci´n G(z) = Y (z)/X(z), hallar la transformada inversa z mediante elm´todo Matlab (comando o e filter) hasta k = 10. Graficar la secuencia (comando stem). Y (z) = 0, 01409z 3 + 0, 028z 2 + 0, 01409z X(z) = z 3 − 2, 7624z 2 + 2, 5811z − 0, 8187

Con el siguiente programa graficamos los 10 primeros elementos de la secuencia de Y (z)/X(z). num=[0.01409 0.028 0.01409 0]; den=[1 -2.7624 2.5811 -0.8187]; Xz=[1 zeros(1,10)]; Yz=filter(num,den,Xz); n=0:1:10; stem(n,Yz);xlabel(’k’);

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Ejercicio 4
Para la ecuaci´n en diferencias encontrar la serie en forma recursiva realizando un programa en Matlab. o Luego, hallar la transformada Z mediante c´lculo de mano y luego, mediante el m´todo de Matlab (comando a e filter), encontrar la transformada inversa Z hasta k = 30. Verificar ambos gr´ficos y hallar conclusiones. ax(k + 2) = x(k + 1) + x(k), donde x(0) = 0 y x(1) = 1

Las transformadas z de x(k + 2), x(k + 1) y x(k) est´n dadas, respectivamente, por a Z[x(k + 2)] = z 2 X(z) − z 2 x(0) − zx(1) Z[x(k + 1)] = zX(z) − zx(0) Z[x(k)] = X(z) Al tomar las transformadas z de ambos miembros de la ecuaci´n en diferencias dada, se obtiene o z 2 X(z) − z = zX(z) + X(z) donde se han reemplazado las condicionesiniciales dadas. Finalmente, despejando y simplificando, X(z) = z z2 − z − 1 (2)

que es la transformada z buscada. Ahora utilizo el siguiente programa para comparar el m´todo manual con el m´todo de Matlab. e e %Metodo manual x(1)=0; x(2)=1; N=30; for k=1:N-1 x(k+2)=x(k+1)+x(k) end n=0:N; subplot(2,1,2); stem(n,x,’r’); title(’Metodo manual’); %Metodo Matlab num=[0 1 0]; den=[1 -1 -1]; n=0:1:N; x=[1...