polos y ceros


Polos y ceros, estabilidad

1.-Introduccion.
La noción de estabilidad es fundamental en el desarrollo de sistemas de control y en particular para los sistemas retroalimentados. La ausencia de esta propiedad vuelve inútil en la práctica a cualquier sistema.
Existen diversas formas de definir la estabilidad. Por ejemplo se puede hablar de la noción de estabilidad de un sistema autónomo queno es idéntica a la utilizada en sistemas sometidos a entradas y salidas (en donde la energía puede tener ciertos límites). También podemos referir que la estabilidad entre la entrada y la salida no necesariamente implica una estabilidad interna a los sistemas. Se puede hablar entonces de estabilidad local, global o semi global según el sistema no lineal en consideración.

Aquí nos vamos ainteresar solamente a un tipo de estabilidad, utilizada para una clase de sistemas específicos, entre los que se encuentran los sistemas LTI, la cual es la descripción de estabilidad entrada salida, la cual nos lleva a la definición de estabilidad de entradas y salidas limitadas, comúnmente denominada estabilidad BIBO (Bounded Input)
2.-Definicion de estabilidad.
La Estabilidad de un sistema decontrol es su propiedad más importante, tanto es así que no se puede hablar de sistema de control si éste no es estable.
Un sistema es estable si responde con una variación finita a variaciones finitas de sus señales de entrada. Si se considera un sistema lineal e invariante en el tiempo, la inestabilidad del sistema supondrá una respuesta que aumenta o disminuye de forma exponencial, o unaoscilación cuya amplitud aumenta exponencialmente. En esas situaciones el sistema no responde a las acciones de control, por lo que se dice que el sistema se ha ido de control. Este efecto puede provocar situaciones muy peligrosas y fallos catastróficos, de ahí la importancia de estudiar la estabilidad.
 



3.-Polos y ceros.
 POLOS Y CEROS DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
 Considerando un sistemadescrito por la Ec. (6.1), tomando la transformada de Laplace y resolviendo para la razón de salida Y(s) a la entrada X(s), la función de transferencia del sistema G(s) será:

El denominador es un polinomio en s que es igual que en la ecuación característica del sistema. Recordando que la ecuación característica es obtenida a partir de la EDO homogénea, y haciendo el lado derecho de la Ec.(6.1)  igual a cero.
Las raíces del denominador son denominadas los polos de la función de transferencia. Las raíces del numerador son denominados los ceros de la función de transferencia (estos valores de s hacen a la función de transferencia igual a cero). Factorizando numerador y denominador se tiene:

Donde   zi = ceros de la función de transferencia
            pi = polos de la función detransferencia
Las raíces de la ecuación característica, las cuales son los polos de la función de transferencia, deben ser reales o deben ocurrir como pares de complejos conjugados. En adición, las partes reales de todos los polos deben ser negativas para que el sistema sea estable.
“Un sistema es estable si todos sus polos se ubican en el lado izquierdo del plano s”
La ubicación de los ceros de lafunción de transferencia no tienen ningún efecto sobre la estabilidad del sistema! Ellos ciertamente afectan la respuesta dinámica, pero no afectan la estabilidad

4.- Grafica de polos y ceros.

5.-Estabilidad y polos.
El denominador de la función de transferencia, D(s), se conoce como función característica, pues determina, a través de los valores de sus coeficientes, las característicasfísicas de los elementos que componen el sistema.
La función característica igualada a cero se conoce como ecuación característica del sistema:


Las raíces de la ecuación característica se denominan polos del sistema. Las raíces del numerador N(s) reciben el nombre de ceros del sistema.
Se puede demostrar que para que un sistema sea físicamente realizable, el número de polos debe ser mayor,...