Pompas

Pompas de jab´
on

Est´ımulo del Talento Matem´
atico
Real Academia de Ciencias

1 de abril de 2006

Pompas de jab´on

Talento Matem´atico 2005/2006. Real Academia de Ciencias

1. Pompas de jab´
on

¿Qu´e formas puede adquirir una pel´ıcula de agua jabonosa? Es ´este
un problema interesante (y muy dif´ıcil) que ha atra´ıdo a muchos
matem´aticos (y no matem´aticos), y que ha dado lugar a todauna
disciplina de la geometr´ıa conocida con el nombre de superficies
minimales.
Hay dos tipos de superficies que pueden formarse con jab´on: las
pompas, que son las que no encierran aire dentro, y las burbujas, que
encierran aire en su interior. Las siguientes son t´ıpicas fotograf´ıas
de burbujas. Nosotros nos centraremos en el caso de las pompas.

Empezamos preparando todo el material: tomamos unbarre˜
no de
agua donde echamos 5 cucharadas soperas de Fairy y 7 cucharadas
soperas de glicerina por cada litro de agua. Movemos la mezcla,
pero sin agitar para evitar que salga espuma (nuestra gran enemiga).
El jab´on disminuye la tensi´on superficial del agua, evitando que se
rompan las pompas. La glicerina evita la evaporaci´on del agua, lo
que va a hacer a nuestras pompas resistentes, paraque duren el
tiempo suficiente para poderlas ver, jugar con ellas, fotografiar . . .
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Pompas de jab´on

Talento Matem´atico 2005/2006. Real Academia de Ciencias

(la glicerina es un veneno, por lo que debe ser manipulada por
un adulto). Tambi´en necesitamos una buena colecci´on de alambres
preparados para tener bonitos dise˜
nos de pompas.

Obtendremos diversos tipos de pompas usando losalambres, que
actuar´an como soporte. Al introducir un alambre en el agua jabonosa
y extraerlo con cuidado, obtenemos una superficie que se agarra al
alambre (se dice que el alambre es el borde de la superficie). Si nos
han salido burbujas adheridas a la pompa, podemos pincharlas con
un alfiler para eliminarlas.
¿Qu´e propiedad comparten las pompas? Si introducimos un alambre
con forma de circunferencia,¿qu´e pompa obtendremos? Mira a estas
dos fotos y se˜
nala la respuesta correcta.

Ciertamente es la pompa de la izquierda: un c´ırculo. ¿Por qu´e no
puede ser la de la derecha? Porque tiene un ´area mayor. La pel´ıcula
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Pompas de jab´on

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jabonosa, por la fuerza de cohesi´on interna de las mol´eculas que
la forman, tiende a tener el ´aream´ınima posible. Es decir, si sus
mol´eculas se pueden acercar m´as las unas a las otras haciendo
disminuir el ´area, lo har´an. Enunciamos esto como un “principio
universal”.
Propiedad 1: Una pompa tiene la menor ´area posible.
´
Este
es el motivo por el que a las superficies que obtenemos
como pompas de jab´on se las ha dado el nombre de superficies
minimales.
Si usamos alambre que no seaplano, tambi´en obtenemos superficies
de ´area m´ınima, pero ahora son superficies curvadas.

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Pompas de jab´on

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2. El problema de Plateau

Joseph Plateau fue un profesor belga de f´ısica que vivi´o en el
siglo XIX (1801–1883) y que se dedic´o a estudiar en detalle las
propiedades de las pompas de jab´on, por lo que al problema de
encontrarqu´e pompa de jab´on tiene por borde una curva dada
se le conoce con el nombre de problema de Plateau. Plateau se
qued´o ciego a los 42 a˜
nos, seg´
un se cree por haber mirado al
sol durante 25 segundos a los 27 a˜
nos de edad, cuando hac´ıa
estudios de fisiolog´ıa ´optica. De hecho sus estudios permitieron
conseguir la sensaci´on de movimiento durante la proyecci´on de
una pel´ıcula a partir deim´agenes fijas (fotogramas). Despu´es de
quedarse ciego, llev´o a cabo su estudio de las pompas de jab´on.
Dise˜
naba los alambres y, con la colaboraci´on de su mujer e hijos,
que le explicaban las formas de las pompas obtenidas, lleg´o a
conclusiones experimentales que dej´o recogidas en una famosa
monograf´ıa sobre el tema.

La resoluci´on matem´atica del problema tard´
o mucho tiempo en...