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Cálculo Diferencial

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Primer Parcial
Unidad 1 FUNCIONES DE UNA VARIABLE
1.3 Modelado de funciones
Introducción…
Las ciencias exactas y las ciencias sociales siempre han recurrido a las matemáticas cuando se trata de medir
o ejemplificar algún fenómeno de la vida cotidiana. Áreas como la Física, la Ingeniería, la biología, la medicina, etc.
tienen esa relacióncon el área de las matemáticas.
Hoy en día la tecnología, las finanzas, la elaboración de manufactura, los negocios en general, requieren de
una estrecha relación con modelos matemáticos.
Un modelado constituye una representación abstracta de cierto aspecto de la realidad, en su estructura
intervienen, por una parte los elementos que caracterizan la realidad modelada , y por otra parte lasrelaciones
existentes entre ellos. Así, un modelo matemático está basado en la lógica matemática cuyos elementos son
esencialmente variables y funcionales, las relaciones entre ellos vienen representadas a través de expresiones
matemáticas que corresponden al mundo real que modelan. Como relaciones tecnológicas, leyes físicas, restricciones
del mercado, etc.
La construcción de modelos matemáticosnos puede ayudar a encontrar relaciones que no son evidentes a
primera vista y una vez construido el modelo podemos hacer variaciones en los datos. Esto es muy útil en aquellas
situaciones del mundo real en las que no es posible experimentar con la realidad, como por ejemplo, presenciar el
origen del universo.
La adecuada descripción de un fenómeno en forma matemática, permite el análisis ypor ende la previsión
del fenómeno, estos modelos matemáticos permiten realizar experimentos virtuales que si se hicieran de forma real,
serian caros, peligrosos o imposibles de realizarse.
Como ejemplo, podemos mencionar que hace miles de años los egipcios construían sus pirámides basándose
en el prisma triangular. Para calcular el área total que tenían que cubrir para construir una pirámidede base
rectangular no lo hacían a prueba y error, para ello realizaron el siguiente modelo:
Fórmula para calcular el área de una pirámide de base rectangular:

AT  ah  bh ; donde: a y b son las dimensiones de la base de la piramide (Rectángulo) y h es la altura.
Para calcular el área sólo se necesita cambiar los valores de los datos.

Obs.11:
Las funciones representan el principal objetode análisis en el cálculo, ya que co nstituyen la clave para
describir el mundo real en términos matemáticos. Las funciones surgen siempre que una cantidad depende de otra.
Considere las situaciones siguientes:




16



El área del círculo depende del radio. A r   r
La distancia que viaja un objeto desde un punto inicial a lo largo de una trayectoria recta depende de suvelocidad.
La población humana (P) depende del tiempo (t). P(t).
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 M.E.M. Mónica Livier Mendiola Cárdenas

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Primer Parcial
Unidad 1 FUNCIONES DE UNA VARIABLE
1.3 Modelado de funciones
Def. 17: Modelado de funciones.
Es el análisis de un fenómeno o evento real expresado mediante un modelo matemático cuyos elementos
son variables yfuncionales (funciones).

Para realizar esta representación es necesario que se consideren las siguientes preguntas:
1. ¿Qué es lo que se pide en el problema?
2. ¿Qué datos se dan en el problema?

Ejemplo 17: Una región rectangular tiene un perímetro de 200 m. Expresar el área de la región como función
de la longitud de uno de sus lados.

Figura 24: Dibujo del modelo matemático del ejemplo 25Solución:
Consideramos un rectángulo con lados x y h, expresados en metros y planteamos las siguientes preguntas:
1. ¿Qué es lo que se pide en é ste problema?
Expresar el área A del rectángulo, que es A  xh , como función solamente de x ó bien de h.
2. ¿Qué dato se da en el problema?
Que el perímetro es:
P  2 x  2h
Sea P  200m , entonces:
200  2 x  2 h

200
2



2x

...