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Interpolación y Aproximación por polinomios
Los temas cubiertos en este capítulo están basados en el libro
Numerical Analysis, de Richard L. Burden y J. Douglas Faires, PWS-Kent, 3rd Edition (1985)
El Teorema de aproximación de Weierstrass nos asegura que dada una función definida en un intervalo cerrado, podemos encontrar un polinomio que "se acerca" a esta función tanto como lo deseemos.Veremos en este capítulo diversas formas de construir estos polinomios, y sus respectivas ventajas/desventajas.
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Polinomios de Taylor

Es el polinomio de grado n que pasa por un punto dado, y tiene las n derivadas iguales a la función en ese punto. El polinomio de Taylor para una función f en x0 es:

Pn(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) +(1/2!) f''(x0)(x -x0)2 + ... + (1/n!) f(n)(x0)(x - x0)n

con un error conocido (resto Rn) igual a:

f(x) - Pn(x) = Rn(x) = (1/(n+1)!) f(n+1)(ξ)(x - x0)n+1

Ejercicios:
• Calcular P3(x) - el Polinomio de Taylor de orden 3 - alrededor de x0=0, para f(x) = (1+x)1/2
• Usar este polinomio para aproximar (1.1)1/2. Comparar los errores de las sucesivas aproximaciones P1, P2 y P3
• Usar este polinomio paraintegrar f(x) = (1+x)1/2 entre 0 y 0.1. Encontrar el error de esta aproximación
• Calcular Pn(3) (n=1,7) alrededor de x0=1 para aproximar una función f(x) = 1/x .
• Graficar P1(x), P2(x) y P3(x), entre x=0 y x=4.
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Polinomios de Lagrange

Interpolar por este método consiste en construir un polinomio Pn(x) de grado máximo n, que pasa por n+1 puntosdados. La función f(x) tabulada en n+1 puntos xk es:
f(xk) = Pn(xk) para todo k=0,1,2,...,n

El polinomio Pn(x) está dado por una combinación de los respectivos Polinomios de Lagrange Ln,k(x)

Pn(x) = f(x0)Ln,0(x) + f(x1)Ln,1(x) + ... + f(xn)Ln,n(x)

y los polinomios de Lagrange se definen como:

(x-x0)(x-x1)....(x-xk-1)(x-xk+1)....(x-xn)
Ln,k(x) =-------------------------------------------
(xk-x0)(xk-x1)..(xk-xk-1)(xk-xk+1)..(xk-xn)


Como ejemplo vemos los 5 polinomios de Lagrange que pasan por los puntos x= 1.0, 1.3, 1.6, 1.9 y 2.2:


El error dado por éste método de interpolación es:

f(x) - Pn(x) = Rn(x) = (1/(n+1)!) f(n+1)(ξ)(x - x0)(x - x1) ... (x - xn)

Ejercicios:
• Calcular f(x) = 1/x utilizando una interpolación de Lagrange desegundo orden, para x=3. La función se da tabulada en x1=2, x2=2.5, y x3=4.
• Se prepara una tabla con valores de ex, entre 0 y 1, con d decimales. (por ejemplo: si d=5, f(1)=2.71828). Los valores de x de la tabla están separados por un paso h.
• Supongamos que d es mayor o igual que 6. Cuál debería ser h para que una interpolación de Lagrange lineal produzca un error menor a 10-6?
• Supongamosque d es menor que 6. Cuál debería ser h para que una interpolación de Lagrange lineal produzca un error menor a 10-6?
• Utilizar el programa lagrange.for para evaluar el valor de J0(x=1.5) (función de Bessel del primer tipo y orden cero). La función está tabulada en 5 puntos, en el file table.dat. Calcular los valores de Pn(x=1.5) utilizando interpolación de Lagrange, en los diferentesordenes, y con las diferentes combinaciones posibles de puntos adyacentes.
• Este programa imprime tambien los polinomios de Lagrange. Comparar graficamente el ejemplo de f(x) = 1/x, interpolado con los diferentes métodos vistos.
• Agregar la estimación del error en el programa lagrange.for.
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Métodos de Neville y Aitken

Una de las dificultades de lainterpolación de Lagrange, es que el error es difícil (o imposible) de calcular. La forma habitual de trabajar es ir incrementando el orden de los polinomios, hasta que se obtiene un valor deseado. Sin embargo, cada cálculo es independiente del previo, perdiendose contacto entre uno y otro. Los polinomios de Legendre tambien se pueden generar aprovechando los cálculos previos, en forma iterativa....