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Tema 1
Nociones sobre la geometría y topología de Rq
1.1 Introducción
Uno de los conceptos fundamentales de las matemáticas es el número. Introducido en la antigüedad,
el concepto se ha ido generalizando y profundizando con el tiempo. El número es
esencial en el desarrollo de diversas disciplinas como la Física, la Química, la Economía o la
Informática. Las magnitudes físicas1 estándefinidas por un valor numérico, un error (también
numérico) asociado a las limitaciones del proceso de medida y una unidad adecuada a su dimensión.
Las matemáticas estudian las magnitudes haciendo abstracción de su naturaleza y de como
han sido medidas, es decir, no tienen en consideración unidades o posibles errores. De forma genérica
consideraremos que los valores numéricos carecen de dimensionesy en los pocos casos
en que les asociemos una dimensión no utilizaremos un sistema de unidades concreto.
El cero, los números naturales N y sus opuestos constituyen el conjunto de los números enteros
Z. Todas las razones de dos números enteros p/q (con q 6= 0) dan lugar a los números
racionales que se denotan por Q. Los números enteros son un subconjunto de los racionales,
Z ⊂ Q, ya quecualquier entero p se puede escribir como la razón p/1 de dos números enteros.
Los números fraccionarios se pueden representar por fracciones finitas o por fracciones
periódicas infinitas; por ejemplo
5
2
= 2.5,
10
3
= 3.333 . . .
Existen además números en forma de fracciones indefinidas aperiódicas que se denominan
irracionales. Ejemplos de estos números son
√2, lím
n→∞

1 +
1
n
n.
La unión de ámbos tipos de números, racionales e irracionales, da lugar al conjunto de los
números reales R. Los números reales están ordenados: para cualquier par x e y se cumple una
y sólo una de las siguientes relaciones x < y, x = y, x > y.
Otro hecho importante es que R puede representarse geométricamente como una recta. Se
llama recta real o eje númerico a una recta infinita en la quese han establecido: i) un origen que
se denota habitualmente como O, ii) un sentido positivo (señalizado mediante una flecha) y iii)
una escala para medir longitudes. Normalmente la recta real se representa en posición horizontal
y se considera positivo el sentido izquierda-derecha. Cuando x es positivo se representa mediante
un punto P situado a la derecha de O y a una distancia d(O, P) = x.Si es negativo se le
representa por un punto Q situado a la izquierda de O y a una distancia d(O, P) = −x. El cero
corresponde al propio origen O.
Por este método cada número real x está representado por un punto P de la recta real. Diremos
que el valor numérico x (incluyendo el signo) es la distancia orientadadel punto P al origen.
1Elegimos este ejemplo ya que el curso está orientado alos alumnos de la Licenciatura en Física.
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BORRADOR
TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ
P X
X0
Figura 1.1: La recta real
La relación es biunívoca: dos puntos distintos caracterizan números reales distintos. Y por ello
los términos número real y punto del eje real son sinónimos y así los utilizaremos.
En lo que sigue utilzaremos las siguientes propiedades de los números reales, queaceptaremos
sin demostración:
1. Dados dos números reales arbitrarios x < y, existen números reales z, tanto racionales
como irracionales, que verifican que x < z < y.
2. Todo número irracional se puede expresar con grado de precisión arbitrario mediante
números racionales.
1.2 El espacio euclídeo Rq
1.2.1 Producto escalar y distancia euclídea
De forma análoga existe una correspondenciabiunívoca entre los puntos de un plano y pares
ordenados de números reales, que reciben el nombre de coordenadas del punto. Consideremos
dos rectas perpendiculares situadas sobre el plano a las que llamaremos ejes coordenados X e
Y ; elegiremos su intersección O como origen de coordenadas, definiremos sobre ámbos ejes
una escala adecuada y asociaremos el origen de coordenadas con el par (0, 0)....