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Ejercicio: Pruebe que es simple para , siguiendo los pasos y pistas dadas

a) Muestre que contiene todos los 3-ciclos si
b) Muestre que es generado por los 3-ciclos para .
[Pista: Note que.]
c) Sean r y s elementos fijos de {1,2,…, n} para . Muestre que es generado por los 3-ciclos “especiales” de la forma para
[Pista: Muestre que todo 3-ciclo es producto de 3-ciclos“especiales” calculando y Observe que estos productos dan todas los tipos posibles de 3-ciclos.]
d) Sea un subgrupo normal de para . Muestre que si contiene un 3-ciclo, entonces =
[Pista: Muestreque implica que para calculando

e) Sea un subgrupo normal no trivial de para . Muestre que uno de los siguientescasos debe suceder y concluya en cada caso que =
Caso I contiene un 3-ciclo
Caso II contiene un producto disjunto de ciclos, al menos uno de los cuales tiene longitud mayor que 3[Pista: suponga que contiene un producto disjunto Muestre que está en y calcúlelo]
Caso III contiene un producto disjunto de la forma
[Pista: Muestre que está en y calcúlelo]Caso IV contiene un producto disjunto de la forma donde es un producto de 2-ciclos disjuntos
[Pista: Muestre que y calcúlelo.]
Caso V contiene un producto disjunto de laforma donde es un producto de un número par de 2-ciclos disjuntos.
[Pista: Muestre que está en y calcúlelo para deducir que está en . Usando para el primero, encuentre en {1, 2,…, n} . Sea Muestre que ) y calcúlelo. ]


Demostración

a) Sabemos que y por lo tanto, todo 3-ciclo es una permutación par. Así,
b) Consideramos y lo expresamos como producto detransposiciones. Por definición de , el número de transposiciones resultantes en el producto debe ser par, o de lo contrario .
El producto de las dos primeras transposiciones será de alguna de las...