Postuldo De Campos De Los Numeros Reales

Módulo 10
Postulados de campo
OBJETIVO:
Conocerá los postulados de campo y su aplicación; utilizara postulados de campo
en proposiciones de números reales
Ahora, estamos interesados en ver el comportamiento de los números
reales en diversas afirmaciones y formular alguna descripción de sus propiedades
o postulados. El interés principal se centra en la manera en que el número secomporta en diferentes operaciones: por ejemplo, ¿es 4+7=7+4 una afirmación
verdadera? Analicemos estas situaciones.
Todo conjunto cuyos elementos cumplan con los siguientes postulados para las
operaciones de la suma y la multiplicación se llama un campo, los números reales
cumplen con los postulados y por ello se le refiere el campo de los números
reales.
Postulado 1. Cerradura:
Para lasuma:
Este postulado o propiedad dice que si pensamos en dos números reales y los
sumamos, el resultado vuelve a ser un número real. Es decir:
a, b ∈ R ⇒ (a + b) ∈ R
Ejemplo:
1, 3 ∈ R ⇒ (1 + 3) ∈ R⇒ 4 ∈ R
Aunque parezca obvio, esta propiedad tiene su chiste, pues resulta que no en todo
conjunto de números se satisface esta propiedad. Por ejemplo si tenemos el
conjunto P = {1, 2, 3, 4, 5} ytomamos dos elementos de este conjunto, por
ejemplo el 2 y el 4 y los sumamos 2+4, el resultado es 6 y este elemento no está
en el conjunto P. Así, decimos que el conjunto P no cumple con el postulado de la
Cerradura para la suma.
Para la multiplicación:
Análogamente, este postulado o propiedad dice que si pensamos en dos números
reales y los multiplicamos, el resultado vuelve a ser unnúmero real. Es decir,
a, b ∈ R ⇒ (a + b) ∈ REjemplo:
3, 2 ∈ R⇒ (3 · 2) ∈ R ⇒ 6 ∈ R
Otra vez, aunque parezca obvio, esta propiedad tiene su chiste, pues resulta que
no en todo conjunto de números se satisface esta propiedad. Por ejemplo si
consideramos el mismo conjunto P = {1, 2, 3, 4, 5} y tomamos dos elementos de
este conjunto, por ejemplo el 2 y el 4 y los sumamos (2) (4), el resultado es 8 yeste elemento no está en el conjunto P. Así, decimos que el conjunto P no cumple
con el postulado de la Cerradura para la multiplicación.
Postulado 2. Conmutativo
Retomando la pregunta ¿es 4+7=7+4 una afirmación verdadera?, todos
contestamos que si es verdadera pues 4 + 7 = 11 y 7 + 4 = 11, es decir en ambos
miembros se tiene la misma cantidad. Esto siempre es así, pues cuandoqueremos sumar dos números da lo mismo si pensamos por ejemplo en el 4 y
luego le sumamos el 7 o pensamos en el 7 y luego le sumamos el 4. Esto siempre
pasa no importando cuales sean los números. De hecho, cuando vamos de
compras y queremos sumar 3 + 17, algunas personas lo que hacen es pensar en
el 17 y luego le suman el 8 y otras se les facilita pensar en el 3 y luego le suman el17. Esto se puede resumir así:
Si a y b son números reales entonces a + b = b + a
La anterior afirmación se conoce como el Postulado o la Propiedad
conmutativa para la suma o de la adición.
Existe también la propiedad Conmutativa para la multiplicación o del
producto:
Si a y b son números reales entonces a · b = b · a
Esta afirmación dice que si queremos multiplicar porejemplo 9 x 8, da lo mismo
hacer 9 x 8 = 72 ó 8 x 9 = 72. Esta propiedad la usamos comúnmente y sin darnos
cuenta de que la estamos usando. Por ejemplo, si tenemos que multiplicar 8 x 7 yno nos acordamos de la tabla del 8 pero si la del 7 entonces pensamos y decimos
7 x 8 = 56 y hacemos esto para facilitarnos la operación.
Al fin decimos “el orden de los factores no afecta al producto”.
Postulado3. Asociativo
Veamos otra propiedad de la adición. Supongamos que queremos sumar 4+2+7.
Podemos seguir dos caminos:
a. (4+2)+7
b. 4+(2+7)
El resultado no depende del modo en que se elija sumar. Pues si hacemos la
operación en a) implica que (4+2)+7=6+7=13 y, la opción b) implica
4+(2+7)=4+9=13, lo cual lleva al mismo resultado.
Esto siempre lo podemos hacer para cualesquiera...