poteciación
Páginas: 9 (2104 palabras)
Publicado: 4 de abril de 2013
La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe an y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo. Nótese que en el caso de la potenciación la base y el exponente puedenpertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo totalmente general la base será un elemento del anillo pero el exponente será un número natural que no tiene porqué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser un número entero o ceroSe llama potencia a una expresión de la forma a^n, donde a es la base y n es el exponente. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca elexponente.
Exponente entero
Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando, siendo a un número cualquiera:
(1) \begin{array}{ll} a^1 = & a \\ a^2 = & a \times a \\ \vdots & \vdots \\ a^n = & \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n \text{ veces}}, \end{array}
Esta definición puede aplicarse, tanto a números reales o complejos, así como aotras estructuras algebraicas más abstractas, como pueden ser, por ejemplo, matrices cuadradas.
Multiplicación de potencias de igual base
El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir:
[Mostrar] a^n \cdot a^m = a^{n+m}
Ejemplos:
9^3 \cdot 9^2 = 9^{3+2}= 9^5
Potencia de unapotencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):
[Mostrar] {(a^m)}^n = a^{m \cdot n}
Debido a esto, la notación a^{b^c} se reserva para significar a^{(b^c)} ya que {(a^b)}^c se puede escribir sencillamente como a^{bc}\,.
Potencia de un producto
La potenciade un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir:
[Mostrar] (a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n
Si la base a tiene inverso aditivo, indicado mediante signo negativo -a, entonces se tiene la regla:
[Mostrar] (-a)^n =\;\;\;\;\; a^n si n es par.
(-a)^n = -( a^n) si n es impar.
Si la base a tiene inverso multiplicativo c, es decir c·a = 1 o quec=\frac{1}{a}, entonces este se denota por a^{-1}, y el exponente se puede ampliar a todos los números enteros:
(2) \begin{array}{l}a^{-1} = \frac{1}{a} \\ a^{-n} = \frac{1}{a^n}\end{array}
Observación
a^{-n} = ( a^{-1} )^n = \underbrace{ \frac{1}{a} \times \cdots \times \frac{1}{a}}_n = \frac{1}{\underbrace{a \times \cdots \times a}_n} = \frac{1}{a^n}.
División de potencias deigual base
El cociente de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente el resultado de restar el exponente del divisor al del dividendo, es decir:
[Mostrar] \frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}
Ejemplo:
\frac{9^5}{9^3} = 9^{5-3}= 9^2
Potencia de exponente 0
Un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado launidad (1), puesto que:1 2
1 = \frac {a^n} {a^n} = a^{n-n} = a^0\,
El caso particular de 0^0\,, en principio, no está definido (ver cero).
Potencia de un cociente
La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al mismo exponente.
[Mostrar] \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}
Si la base a = 0, entonces a no tiene inverso multiplicativoa^{-1}, por lo que sólo se presentan exponentes de números naturales por (1) quedando así prohibida la notación (2) como valor numérico:
0^1=0
0^n= \underbrace{0 \times \cdots \times 0}_n = 0.
Exponente racional
Artículo principal: Radicación.
La potenciación con exponente racional viene de la necesidad de resolver una ecuación del tipo x^n= a , de manera que x = \sqrt[n]{a} ,...
Exponente entero
Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando, siendo a un número cualquiera:
(1) \begin{array}{ll} a^1 = & a \\ a^2 = & a \times a \\ \vdots & \vdots \\ a^n = & \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n \text{ veces}}, \end{array}
Esta definición puede aplicarse, tanto a números reales o complejos, así como aotras estructuras algebraicas más abstractas, como pueden ser, por ejemplo, matrices cuadradas.
Multiplicación de potencias de igual base
El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir:
[Mostrar] a^n \cdot a^m = a^{n+m}
Ejemplos:
9^3 \cdot 9^2 = 9^{3+2}= 9^5
Potencia de unapotencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):
[Mostrar] {(a^m)}^n = a^{m \cdot n}
Debido a esto, la notación a^{b^c} se reserva para significar a^{(b^c)} ya que {(a^b)}^c se puede escribir sencillamente como a^{bc}\,.
Potencia de un producto
La potenciade un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir:
[Mostrar] (a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n
Si la base a tiene inverso aditivo, indicado mediante signo negativo -a, entonces se tiene la regla:
[Mostrar] (-a)^n =\;\;\;\;\; a^n si n es par.
(-a)^n = -( a^n) si n es impar.
Si la base a tiene inverso multiplicativo c, es decir c·a = 1 o quec=\frac{1}{a}, entonces este se denota por a^{-1}, y el exponente se puede ampliar a todos los números enteros:
(2) \begin{array}{l}a^{-1} = \frac{1}{a} \\ a^{-n} = \frac{1}{a^n}\end{array}
Observación
a^{-n} = ( a^{-1} )^n = \underbrace{ \frac{1}{a} \times \cdots \times \frac{1}{a}}_n = \frac{1}{\underbrace{a \times \cdots \times a}_n} = \frac{1}{a^n}.
División de potencias deigual base
El cociente de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente el resultado de restar el exponente del divisor al del dividendo, es decir:
[Mostrar] \frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}
Ejemplo:
\frac{9^5}{9^3} = 9^{5-3}= 9^2
Potencia de exponente 0
Un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado launidad (1), puesto que:1 2
1 = \frac {a^n} {a^n} = a^{n-n} = a^0\,
El caso particular de 0^0\,, en principio, no está definido (ver cero).
Potencia de un cociente
La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al mismo exponente.
[Mostrar] \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}
Si la base a = 0, entonces a no tiene inverso multiplicativoa^{-1}, por lo que sólo se presentan exponentes de números naturales por (1) quedando así prohibida la notación (2) como valor numérico:
0^1=0
0^n= \underbrace{0 \times \cdots \times 0}_n = 0.
Exponente racional
Artículo principal: Radicación.
La potenciación con exponente racional viene de la necesidad de resolver una ecuación del tipo x^n= a , de manera que x = \sqrt[n]{a} ,...
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