Potencia Instantanea

1. La potencia instantánea es la potencia absorbida por un elemento en cualquier instante de tiempo, donde esta va a estar dada por el producto del voltaje instantáneo y la corriente instantánea,que pasan por dicho elemento como se muestra en la ecuación 1. Las unidades de la potencia instantánea son los vatios (watts) y el instrumento utilizado para realizar la medición de la potencia es elwattímetro, pero debido a que la potencia instantánea varia con el tiempo es muy difícil poder medirla, por ello el wattímetro mide la potencia promedio, la cual es el promedio de la potenciainstantánea en un periodo.
pt=vt.i(t) (1)

Sea: vt=Vmcos⁡(ωt+θv)it=Imcos⁡(ωt+θi)

2. Para poder demostrar q la potencia promedio está dada por
P=12ReVI*=12VmImcos⁡(θv-θi), primero q todo debemos remplazar los valores de vt yi(t) en la ecuación 1, teniendo así:

pt=Vmcosωt+θv.Imcos⁡(ωt+θi)

pt=VmImcosωt+θvcos⁡(ωt+θi)

Aplicamos la siguiente identidad trigonométrica:
cosAcosB=12[cosA-B+cosA+B]

pt=12VmImcosωt+θv-ωt-θi+12VmImcos⁡(ωt+θv+ωt+θi)

Simplificando nos queda:
pt=12VmImcosθv-θi+12VmImcos⁡(2ωt+θv+θi)(2)

Como se menciono en el numeral 1 la potencia promedio es el promedio de la potencia instantánea en un periodo, así la potencia promedio está dada por:

P=1T0Tpt dt(3)

Sustituyendo (2) en (3) tenemos:

P=1T0T12VmImcosθv-θi+12VmImcos⁡(2ωt+θv+θi) dt
Partiendo laintegral queda:
P=1T0T12VmImcosθv-θi dt+1T0T12VmImcos⁡(2ωt+θv+θi) dt
P=12TVmImcosθv-θi0Tdt +12TVmIm0Tcos⁡(2ωt+θv+θi) dt
Como la segunda integrar es una función coseno se sabe q el promedio de...