Potencia
Páginas: 33 (8188 palabras)
Publicado: 19 de julio de 2012
Capítulo 5
Controlabilidad y Observabilidad
5.1 Controlabilidad Completa
Un sistema es controlable a un tiempo t0 si es posible transferir mediante el uso de un vector de control sin restricciones al sistema desde el estado inicial x (t0 ) a cualquier otro estado en un intervalo …nito de tiempo. Un sistema exhibe controlabilidad completa si todos los estados son controlables. Condición decontrolabilidad completa: Un sistema es controlable si la matriz de controlabilidad C es de rango completo, es decir, el rango de C es igual a n; el número de estados: C se construye de la siguiente manera: ¸ · . . 2 . . n¡1 . . B. ¢ ¢ ¢ . (5.1) C = B.AB.A . .A B Una manera muy intuitiva de determinar la controlabilidad cuando los autovalores del sistema son todos diferentes consiste en obtenermediante transformaciones de similaridad, la matriz diagonal D: En este cambio se tiene que x (t) = Ax (t) + Bu (t) _ y ¹ z (t) = Dz (t) + Bu (t) _ Donde z (t) = Tx (t) (5.4) (5.3) (5.2)
x (t) = T¡1 z (t)
(5.5)
z (t) = Tx (t) = TAx (t) + TBu (t) _ _ 39
(5.6)
40
z (t) = TAT¡1 z (t) + TBu (t) _ Donde D = TAT¡1 ¹ y B = TB
(5.7)
(5.8)
La condición de controlabilidad en estecaso establece que los estados correspon¹ dientes a las …las de B iguales a cero no son controlables. Si todos los autovalores de la matriz A no son diferentes es posible que la diagonalización a través de transformaciones de similaridad sea imposible. En tal caso la matriz A puede ser transformada en la forma canónica de Jordan. Suponga que se determina una matriz de transformación T de tal maneraque ¹ J = TAT¡1 y B = TB si: Sistemas MIMO: ^ Para cada i ¡ esimo autovalor se forma una matriz Bi con las …las de la matriz ¶ ¹ que correspondan a la última …la de cada uno de los bloques de Jordan asociados a ese B autovalor. ^ Condición: Las …las de cada una de las matrices Bi formadas deben ser linealmente independientes. Nota: Esto implica que el sistema requiere que el número de entradassea igual al máximo número de bloques de Jordan asociados a alguno de los autovalores (condición necesaria, pero no su…ciente). Sistemas SISO: 1) No existen dos bloques de Jordan asociados con un mismo autovalor. ¹ 2) Al menos uno de los elementos de la matriz B en la …la que corresponde a la última …la de cada bloque de Jordan es diferente de cero. ¹ 3) Al menos uno de los elementos de la matriz Ben la …las que corresponden a autovalores diferentes es diferente de cero. Desde el punto de vista de la frecuencia, la condición para que exista completa controlabilidad es que no ocurra cancelación en la función o matriz de transferencia (5.9)
La condición de controlabilidad en este caso establece que un sistema es controlable
5.2
Controlabilidad de la salida
En la mayoría de casosprácticos se desea controlar la salida en lugar de los estados del sistema. Controlabilidad completa de los estados no garantiza la controlabilidad de la salida del sistema. Se de…ne en este caso una matriz S, para la cual debe cumplirse que el rango debe ser igual a m; el número de variables de salida. ¸ · 2 n¡1 . . . . . .¢¢¢. . . . (5.10) S = CB.CAB.CA B. .CA B.D
41
5.3
ObservabilidadCompleta
Un sistema es observable a un tiempo t0 si con el sistema en un estado inicial x (t0 ) ; es posible determinar este estado a partir de las observaciones de la salida y (t) durante un intervalo …nito de tiempo. Un sistema exhibe observabilidad completa si todos los estados son observables. Condición de observabilidad completa: Un sistema es observable si la matriz de observabilidad O esde rango completo, es decir, el rango de O es igual a n; el número de estados: La matriz O se construye de la siguiente manera: 3 2 C 6 CA 7 7 6 (5.11) O=6 7 . . 5 4 . CAn¡1 La observabilidad tambien se puede determinar a partir de la matriz diagonal cuando los autovalores del sistema son todos diferentes En este caso se tiene que x (t) = Ax (t) + Bu (t) _ (5.12)
¹ z (t) = Dz (t) + Bu (t) _...
Controlabilidad y Observabilidad
5.1 Controlabilidad Completa
Un sistema es controlable a un tiempo t0 si es posible transferir mediante el uso de un vector de control sin restricciones al sistema desde el estado inicial x (t0 ) a cualquier otro estado en un intervalo …nito de tiempo. Un sistema exhibe controlabilidad completa si todos los estados son controlables. Condición decontrolabilidad completa: Un sistema es controlable si la matriz de controlabilidad C es de rango completo, es decir, el rango de C es igual a n; el número de estados: C se construye de la siguiente manera: ¸ · . . 2 . . n¡1 . . B. ¢ ¢ ¢ . (5.1) C = B.AB.A . .A B Una manera muy intuitiva de determinar la controlabilidad cuando los autovalores del sistema son todos diferentes consiste en obtenermediante transformaciones de similaridad, la matriz diagonal D: En este cambio se tiene que x (t) = Ax (t) + Bu (t) _ y ¹ z (t) = Dz (t) + Bu (t) _ Donde z (t) = Tx (t) (5.4) (5.3) (5.2)
x (t) = T¡1 z (t)
(5.5)
z (t) = Tx (t) = TAx (t) + TBu (t) _ _ 39
(5.6)
40
z (t) = TAT¡1 z (t) + TBu (t) _ Donde D = TAT¡1 ¹ y B = TB
(5.7)
(5.8)
La condición de controlabilidad en estecaso establece que los estados correspon¹ dientes a las …las de B iguales a cero no son controlables. Si todos los autovalores de la matriz A no son diferentes es posible que la diagonalización a través de transformaciones de similaridad sea imposible. En tal caso la matriz A puede ser transformada en la forma canónica de Jordan. Suponga que se determina una matriz de transformación T de tal maneraque ¹ J = TAT¡1 y B = TB si: Sistemas MIMO: ^ Para cada i ¡ esimo autovalor se forma una matriz Bi con las …las de la matriz ¶ ¹ que correspondan a la última …la de cada uno de los bloques de Jordan asociados a ese B autovalor. ^ Condición: Las …las de cada una de las matrices Bi formadas deben ser linealmente independientes. Nota: Esto implica que el sistema requiere que el número de entradassea igual al máximo número de bloques de Jordan asociados a alguno de los autovalores (condición necesaria, pero no su…ciente). Sistemas SISO: 1) No existen dos bloques de Jordan asociados con un mismo autovalor. ¹ 2) Al menos uno de los elementos de la matriz B en la …la que corresponde a la última …la de cada bloque de Jordan es diferente de cero. ¹ 3) Al menos uno de los elementos de la matriz Ben la …las que corresponden a autovalores diferentes es diferente de cero. Desde el punto de vista de la frecuencia, la condición para que exista completa controlabilidad es que no ocurra cancelación en la función o matriz de transferencia (5.9)
La condición de controlabilidad en este caso establece que un sistema es controlable
5.2
Controlabilidad de la salida
En la mayoría de casosprácticos se desea controlar la salida en lugar de los estados del sistema. Controlabilidad completa de los estados no garantiza la controlabilidad de la salida del sistema. Se de…ne en este caso una matriz S, para la cual debe cumplirse que el rango debe ser igual a m; el número de variables de salida. ¸ · 2 n¡1 . . . . . .¢¢¢. . . . (5.10) S = CB.CAB.CA B. .CA B.D
41
5.3
ObservabilidadCompleta
Un sistema es observable a un tiempo t0 si con el sistema en un estado inicial x (t0 ) ; es posible determinar este estado a partir de las observaciones de la salida y (t) durante un intervalo …nito de tiempo. Un sistema exhibe observabilidad completa si todos los estados son observables. Condición de observabilidad completa: Un sistema es observable si la matriz de observabilidad O esde rango completo, es decir, el rango de O es igual a n; el número de estados: La matriz O se construye de la siguiente manera: 3 2 C 6 CA 7 7 6 (5.11) O=6 7 . . 5 4 . CAn¡1 La observabilidad tambien se puede determinar a partir de la matriz diagonal cuando los autovalores del sistema son todos diferentes En este caso se tiene que x (t) = Ax (t) + Bu (t) _ (5.12)
¹ z (t) = Dz (t) + Bu (t) _...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.