Potenciación y Radicación

MATEMÁTICA: Números Racionales: POTENCIACIÓN y RADICACIÓN

POTENCIACIÓN: Es la operación que indica la multiplicación sucesiva de un mismo número b (llamado base), tantas veces
como lo indique un número n (llamado exponente)
p = bn
b = base
bn = b . b . b . . . . . . . . . . . . .b = p

n = exponente
p = potencia o resultado

n veces
(3)4 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81

Ejemplos:

2

 5 5
    
 4
 4

(0,2)3 = (0,2) . (0,2) . (0,2) =0,008

 5  25
  
 4  16

3

 2
 2
    
 5
 5

 2
 
 5

8
 2
   
125
 5

CASOS ESPECIALES:
1)
2)
3)
4)

El
El
El
El

uno como exponente:
a1 = a
uno como base:
1n = 1
uno como base y exponente: 1 1 = 1
cero como exponente:
a0 = 1

Ej:
Ej:

51 = 5
16= 1

Ej:

70= 1

El resultado es la base
Pues: 1.1.1.1.1.1= 1
El resultado es 1
Por cumplimiento de las condiciones 1) y 2)
El resultado es siempre 1

Demostración: Tomando la propiedad de Cociente de potencias de igual base ( Ver punto siguiente)
a

5–5

5) El cero como base

= a

0

0n

= a5 =
a5
=

0

a. a .a . a . a = Simplificando = 1
a .a . a . a .a
Ej:00 =

6) El cero como base y exponente:

03= 0

Pues : 0.0.0 = 0

indeterminado

El resultado es siempre 0

Como base daría:
00 = 0
Como exponente daría: 0 0 = 1
Como se ve ambos resultados son distintos.

REGLA DE LOS SIGNOS:
1) Base positiva:

Exponente par:
Exponente impar:

El resultado es positivo
El resultado es positivo

( + 8) 2 = + 64
( + 5) 3 = + 125

2) Basenegativa:

Exponente par:
Exponente impar:

El resultado es positivo
El resultado es negativo

( - 3) 2 = + 9
( -2 ) 5 = - 32

El único caso en que la potencia es negativa es cuando la base es negativa y el exponente impar.
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN:
1) Producto de potencias de igual base:
Se suman los exponentes
Ej:
a 3 . a 2 = a 3+2 = a 5
2 3 . 2 . 2 0 . 2 5 = 2 3+1+0+5 = 29
(- 3) -1 . ( -3) 0 . (-3) 4= ( -3 ) - 1 + 0 + 4 = ( -3 ) 3
2) Cociente de potencias de igual base:
Se restan los exponentes
5
2
5-2
Ej:
a : a = a
= a3
5 3 : 5 -1 = 5 3 –(-1) = 5 4
(- 7) 5 : ( -7) 2 = ( -7 ) 5 - 2 = ( -7 ) 3

3) Potencia de otra potencia:
Ej:

a 

5 2

Se multiplican los exponentes

 a10

4 

2 3

 4 6  256

x n . x m  x nm

x n : x m  xnm

x n m  x n . m

3    3
0
4 1

4.  1 . 0

 30  1

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4) Propiedad distributiva:
SE CUMPLE



a.b
Respecto al producto
Ej:
(3.5) 2 = 3 2.5 2
15 2
= 9 . 25
225
= 225





NO SE CUMPLE

n

 a .b
n

n

a  bn  a n  b n

Respecto a la suma
Ej:

n  a n :b n

a:b
Respecto al cociente
Ej:
( 16 : 8 ) 2 = 16 2 : 8 2
22
= 256 : 64
4
=
4

(4+6)
10 2
100

Respecto a la resta
Ej:

(7-3)
42
16

2

 42 +6 2
 16 + 36
 52

a  bn  a n  b n
2

 72- 3
 49 - 9

40

2

CONCLUSIÓN: La potencia es distributiva respecto del producto y el cociente, y no lo es respecto de la suma y la resta.

POTENCIA CON EXPONENTENEGATIVO:
r

Toda potencia con exponente negativo es igual a otra potencia con la base
invertida y el mismo exponente pero positivo. Se conserva el signo de la base

35 : 38  358  33

Por ejemplo:

2
 
3

3

3

27
3
  
8
2

 4

 

1
1
   r
b
b

33333
35
1
1
1

 Simplifica ndo queda 
 3 
8
33333333
333 3
27
3
2

2b

r

1
 1
   
 4  16

 5
 
 3

3

3

27
 3
    
125
 5

NOTACIÓN CIENTÍFICA:
Las potencias de 10 tienen especial importancia, tanto en Matemática como en otras ciencias, ya que nos permiten escribir
números muy grandes o muy pequeños en forma sencilla.
Por ejemplo la masa de un protón es 1,67 . 10 –27 kg. , y la masa de la Tierra es 5,98...