POTENCIACION Y RADICACION

POTENCIACION Y RADICACIÓN
OBJETIVOS:


Resolver ejercicios
fraccionarios.



Reducir, multiplicar y racionalizar expresiones con radicales.

con

expresiones

cuyos

exponentes

sean

enteros

y

INTRODUCCION:
En este taller se proponen una serie de ejercicios que nos permitirán mecanizar las
propiedades de la potenciación y radicación; además, la relación entre exponentes y raíces,
de talmanera, que complementemos el estudio de las expresiones algebraicas.
DESARROLLO:
1. Si a  R y n  Z+, se define:
an = a.a.a.a......a

y se denomina potencia n-ésima de a.

n veces
a se llama base y n exponente.
Las leyes de la potenciación son:
 an m

a)

an . am

c)

an
1
 mn , n  m
m
a
a

e)

(a.b)  a

g)

a0  1, a  0

Si m, n  Z+ y a, b  R, se cumple:
an
b)
 anm , n  m , a  0
am
d)a 

n m

 a n. m

n

h)

n

si a  0

n

. b

n

y nZ,

f)

entonces , a n 

an
a
   n , b 0
b
b

1
an

Ejemplo:
Simplificar las siguientes expresiones, utilizando las leyes de la potenciación:
a) (7x3y4z2). (–3x2y5z)
Solución: Se multiplican los coeficientes entre sí y las potencias entre sí.

(7x3y4z2). (–3x2y5z) = 7(–3)(x3.x2)(y4.y5)(z2.z) = – 21x5.y9.z3

b)

 5a 3b 3
 2 7
4a b





3

Solución: Se puede efectuar primero la potencia de un cociente y luego la división.
 5a 3b 3
 2 7
 4a b

 3x 2 y 3
c)  3 2
 4x y

3


53 (a 3 ) 3 (b 3 ) 3 125a 9 b 9 125a 96 125a 3
  3 2 3 7 3 


6 21
219
4
(
a
)
(
b
)
64
a
b
64
b
64b12


 2 xy 4 


5 
6
x



Solución: Se efectúan primero las multiplicaciones y luego las divisiones.

 3x 2 y 3  2xy 4  6 x 3 y 7
y5
 3 2 



5 
8 2
4x 5
 4 x y  6 x  24 x y
Si lo prefiere, puede comenzar simplificando los coeficientes.
Ejemplo:
Simplifique y exprese el resultado con exponente positivo:

x



2

y 3 z
a)  2 3 1
x yz )
2

Solución: Se efectúan en su orden las potencias y las divisiones. Luego se convierten
las potencias negativas a positivas, bajándolas o subiéndolas,según el caso, por ser
factores.

x

b)

x y  
2



2

y 3 z
x 4 y 6 z 2 y 6 y 1 z 3 y 7 z


 6
( x 2 yz 3 ) 1 x 2 y 1 z 3 x 2 x 4 z 2
x
2

3
1 2

Solución: Se efectúan las potencias de potencias, de adentro hacia afuera o viceversa.
3
y6
2 1 2
4  2 3
12 6
x y   x y  x y  12
x
1
1
a b
c) 1
a  b 1









Solución: No se pueden bajar o subir las potencias porqueno son factores, son
términos. Se aplica la propiedad de potencia negativa y se efectúan las operaciones
indicadas.
1 1 ba

1
1
a b
a
b  ab  b  a

1
1
1 1 ba ab
a b

a b
ab
RADICACIÓN
La raíz n-ésima de un número “x” es otro número “a” que elevado al exponente n, nos da
x, es decir,
n
x  a,
si y sólo
si, a n  x
n se llama índice del radical, x radicando y a raíz.
Todo radical deíndice impar tiene una sola raíz, la cual es del mismo signo que el del
radicando. Ej. 3 64  4 ; 3  8   2
Todo radical de índice par y radicando positivo, tiene dos raíces de igual valor absoluto y
signos contrarios. Ej. 9  3 ; 4 16  2
Un radical de índice par y radicando negativo, no tiene raíces reales. Ej.
Toda raíz se puede expresar como exponente fraccionario:

n

xm  x

 25

m
nDonde m es el exponente del radicando y n el índice de la raíz.
Puede suceder:
a) El exponente del radicando sea divisible por el índice del radical.
6
3

9
3

3 x y  x y  x2 y3
6

Ejemplo:

9

b) El exponente del radicando no sea divisible por el índice del radical (m > n).
Se descompone el radicando en dos factores, de modo que el exponente de uno de
ellos sea el mayor número divisible por elíndice:
Ejemplo:

4

4 x 7 y 8 z 11  4 2 2 x 4 x 3 y 8 z 8 z 3  xy 2 z 2 .4 4 x 3 z 3

Propiedades de los radicales:
a)

n

c)

m n

a.b

n a .

n

b)

b

a  mn a

a

b

n

a

n

b

xm 

n

d)

n

np

, b 0

x mp

Ejemplo:
Simplificar y expresar el resultado con exponente positivo:
4

a)

( x y)
(x2 y3 )



1
2



1
3

Solución: Se efectúan las potencias de potencias, se expresan con...