Potenciacion

Potencias.


← Definición: La notación [pic] determina la potencia de base a y exponente n, significa que hemos de multiplicar a por si mismo n veces.

El exponente, n, indica las veces que se repite la base en el producto de ésta por si misma.

La base, a, es el factor que se repite en el producto.

Ejemplo: [pic]


← Conceptos:
✓ La potencia no es más que una notación oforma de escritura abreviada de productos en los que se repiten los factores, base de la potencia, un número determinado de veces, indicado por el exponente.
✓ Debemos distinguir siempre cuáles son los tipos de números que intervienen en ella, ya que las propiedades de la suma y producto que se cumplen, o no, con cada clase de número, siguen estando vigentes, así:
➢ [pic]
➢[pic]
← Potencia de base y exponente Natural.
✓ Quiere decir que tanto la base como el exponente son números naturales y por lo tanto no tienen signo, o podemos considerar éste positivo siempre. Son las más elementales.
✓ Propiedades:
➢ Producto de potencias de igual base: [pic]


• Es otra potencia que tiene por base la común y por exponente la suma de losexponentes, ya que:
← [pic], hemos aplicado la definición de potencia y la propiedad asociativa del producto de números naturales.
← De modo inverso, [pic] c.q.d.


• IMPORTANTE: todas las propiedades se pueden leer en los dos sentidos, de derecha a izquierda y de izquierda a derecha.
• Así, de este modo:
[pic][pic]


➢ Potencia de un producto: [pic]


• La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada factor, ya que:
[pic], hemos aplicado la definición de potencia y las propiedades conmutativa y asociativa del producto.
← De otro modo:
[pic].
← Al igual que en elapartado anterior, las propiedades son de ida y vuelta, así:
[pic].
[pic]


➢ Potencia de una potencia: [pic]


• La potencia de una potencia es igual a otra potencia que tiene por base la que había y por exponente el producto de los exponentes, ya que:
[pic], hemos aplicado la definición de potencia y lapropiedad asociativa del producto.
← De otro modo:
[pic]
← Al igual que en los apartados anteriores, las propiedades son de ida y vuelta, así:
[pic], adoptaremos la notación que más convenga a nuestros propósitos de cálculo.


➢ Potencia de un cociente: [pic]


• La potencia de un cociente es igual alcociente de las potencias del numerador y denominador, ya que:
[pic], hemos aplicado la definición de potencia y la propiedad del producto de fracciones.
← Al igual que en los apartados anteriores, las propiedades son de ida y vuelta, así:
[pic], hemos aplicado además la propiedad de la simplificación de factores comunes en la fracción, esun método práctico y muy útil para realizar cálculos complejos, recuerda la regla de oro del cálculo, antes de operar, descomponer y simplificar.


➢ Cociente de potencias: [pic]


• El cociente de potencias de igual base es igual a otra potencia que tiene por base la común y por exponente la diferencia de los exponentes del numerador menos el del denominador, ya que:[pic], hemos aplicado la definición de potencia y la propiedad de la simplificación de factores comunes en la fracción.
← De otro modo:
[pic], ya que el uno es el elemento neutro del producto, es decir, cualquier número, expresado éste en cualquier forma (decimal, fraccionaria, potencia, etc. ...), multiplicado por uno es igual a sí mismo, y...