Potencial de morse

Fundamentos de Espectroscopía
Prof. Jesús Hernández Trujillo Fac. Química, UNAM Se utiliza el potencial de Morse para describir la interacción entre los átomos en una molécula diatómica. Las gráficas que representan a la energía potencial como función de la posición son útiles para describir el movimiento de una partícula o de un sistema de partículas. En particular, en el caso de un sistema dedos partículas, la energía potencial es una función de la distancia entre ellas. El potencial de Morse, V (r), es utilizado frecuentemente para estudiar la interacción entre dos átomos A y B que conduce a la formación de la molécula AB: A + B → AB . Este potencial tiene la forma: V (r) = D(1 − e−β(r−ro ) )2 , (1)

donde D, β y ro son constantes positivas que dependen del sistema bajo estudio. Porejemplo, para la molécula H2 los valores de estas constantes son: 7.61 × 10−19 J, 0.0193 pm−1 y 74.1 pm, respectivamente. Además, r es la distancia entre los núcleos de los átomos A y B. 1. Realice las siguientes etapas para trazar la gráfica del potencial de Morse con respecto a r. a) Obtenga el límite de V (r) cuando r tiende a 0. l´ V (r) = V (0) = D(1 − e−β(0−ro ) )2 = D(1 − eβro )2 > 0 ımr→0

La función es continua en r = 0. Además, note que V (0) es finito. Esto significa que, en principio, los átomos pueden encontrarse uno sobre el otro. Esta situación se conoce como el límite del átomo unido. b) Obtenga el límite de V (r) cuando r tiende a ∞. l´ V (r) = D(1 − e−∞ )2 = D(1 − 0) = D ım

r→∞

Es decir, la recta V = D es una asíntota de la función v(r). c) Encuentre los puntoscríticos de V (r) y determine si son máximos, mínimos o puntos de inflexión.

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Se trata de localizar los valores de r donde la primera o segunda derivadas del potencial, V (r), valen cero, y el valor del potencial en esos puntos. Cuando en un punto la primera derivada de la función vale cero y la segunda derivada es diferente de cero, se trata un extremo, es decir, de un máximo o un mínimode la función; cuando la segunda derivada vale cero, se trata de un punto de inflexión.1 Primero, localicemos los máximos y mínimos. A la posición de estos puntos, cuyo número desconocemos, la denotaremos como rm . Para ésto, hay que evaluar la primera derivada de la función: dV = 2D(1 − e−β(r−ro ) )(βe−β(r−ro ) ) . dr Después de igualarla a cero para r = rm , se obtiene 2D(1 − e−β(rm −ro ))(βe−β(rm −ro ) ) = 0 . Es conveniente reacomodar los factores en la expresión anterior: 2Dβe−β(rm −ro ) (1 − e−β(rm −ro ) ) = 0 . Al dividirla entre 2Dβe−β(rm −ro ) se obtiene: 1 − e−β(rm −ro ) = 0 . Esta división es posible debido a que el factor 2Dβe−β(rm −ro ) siempre es diferente de cero. Al pasar el término exponencial al segundo miembro de la igualdad y después de obtener el logaritmo natural en amboslados, se llega a: ln 1 = ln e−β(rm −ro ) 0 = −β(rm − ro ) y por lo tanto, rm = ro , (3) (2)

ya que β = 0. Sólo hay un punto crítico correspondiente a la primera derivada. Aún falta determinar si se trata de un máximo o un mínimo. Para ésto, hay que obtener la segunda derivada del potencial, V (r). Cuando se trata del
También es posible que tanto la primera como la segunda derivadas de unafunción valgan cero en un punto; en este caso, no se trata de un extremo, sólo de un punto de inflexión.
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mínimo de una función, su segunda derivada es positiva; en el caso de un máximo, ésta es negativa. d dV d2 V = d r2 dr dr d 2D(1 − e−β(r−ro ) )(βe−β(r−ro ) ) dr d = 2Dβ (1 − e−β(r−ro ) )(e−β(r−ro ) ) dr d −β(r−ro ) = 2Dβ e − e−2β(r−ro ) dr =

El resultado es: d2 V = 2Dβ 2 (−1 +2e−β(r−ro ) )e−β(r−ro ) d r2 Al sustituir r = rm = ro en (4) se obtiene: d2 V d r2 (4)

= 2Dβ 2 (−1 + 2e−β(ro −ro ) )e−β(ro −ro ) = 2Dβ 2 (−1 + 2e0 )e0 . (5)
r=rm =ro

Y como e0 = 1, la segunda derivada del potencial en ese punto se reduce a d2 V d r2 = 2Dβ 2 > 0 .
r=rm =ro

Debido a que esta segunda derivada es mayor que cero (pues las constantes D y β son positivas), ro es un mínimo. El...