POTENCIAL GRAVITACIONAL GENERADO POR UNA ESFERA

POTENCIAL GRAVITACIONAL GENERADO POR UNA ESFERA PARA
UN PUNTO INTERIOR (ECUACIÓN POISSON) Y PARA UN PUNTO
EXTERIOR (LEY DE LAPLACE) EN COORDENADAS ESFÉRICAS

El potencial de una esfera para un puntopor fuera de ella a una distancia constante
es “equivalente” al potencial de otra masa
puntual ubicado a la misma distancia, en
otras
palabras
existen
campos
equipotenciales que le dan solución aesta
ecuación:

x2  y2  z 2  d 2
Donde d es la distancia desde el centro
geométrico de la esfera hasta el diferencial
de masa.
Por practicidad del ejercicio ubicamos la
masa a una distancia Z y sobreel eje γ.

Sabemos que el potencial está dado por la siguiente ecuación:

 
V

r        Z 
2

2

2

r

K
dV
r
   cos sen
  sensen
   cos 

Coordenadas esféricas

 cossen 2  sensen 2   cos   Z 2

r   2 cos 2 sen 2   2 sen 2 sen 2   cos   Z 

2





r   2 sen 2 cos 2   sen2   cos   Z 

2

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DECALDAS – OSCAR EDUARDO SOTO 20082025103 ICG



2

0



R

0

0

 


 2 sen
k 
  2 sen 2   cos   Z 2


ddd


Como la integral no depende de λ y por el teorema de Fubini laevaluamos de la siguiente manera:

  2k 

R

  2k 

R

0

0



 2 sen

0   2 sen 2   cos   Z 2 dd



 2 sen

0   2 sen 2   2 cos 2   2 cos   Z 2




 2sen

0 0
  2  2  cos   Z 2
u   2  2  cos   Z 2

  2k 



R


dd



dd


du  2 Zsend

du
2z

  2 sen

Evaluando en los límites tenemos que:

 0   2  2 Z Z 2  (   Z ) 2
 1  2  2 Z  Z 2  (   Z ) 2
Haciendo la sustitución

  2k 

R

0

k

R

(   Z )2



( Z )2

  

dud
 2Z u 

 

(   Z )2


d
Z 0 2 u (   Z )2
2kR

    Z    Z d  
Z 0


Para un punto por fuera de la esfera, sabemos que Z> ρ
Para un punto que esta por dentro de la esfera, sabemos que Z<ρ
Entonces ya conociendo estas...