Potencias de i, modulo o valor absoluto

Potencias de i

En cuanto a potencias de i (la unidad imaginaria de un número complejo), se tienen 4 potencias conocidas como básicas, ya que en ellas nos basaremos para sacarotras potencias más grandes.
i0 = 1
i1 = i
i2 = −1
i3 = −i
i4 = 1
 
Los resultados de las potencias de la unidad imaginaria se repiten de cuatro en cuatro.
Para sabercuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.
i22
22÷4=5, y el resto es 2
i22 =(i4)5 · i2 = − 1
i27 = −i


Modulo o Valor Absoluto de un Número Complejo

Con relación al plano cartesiano, los números complejos están en correspondencia biunívoca conlos puntos del plano. Esto es, la abscisa de cada punto es la parte real y la ordenada la parte imaginaria.
Note que los complejos cuya parte imaginaria es nula; es decir, losnúmero de la forma z = (a,0) son puntos localizados sobre el eje de las abscisas o eje x. 
Puede demostrarse que los números complejos de la forma (a,0) tienen las mismas propiedadesaritméticas que el número real a. Por esta razón, se puede identificar el número complejo (a,0) con el número real a.

Igualmente, los complejos cuya parte real es nula; esdecir, los números de la forma z=(0,b) están localizados sobre el eje de las ordenadas o eje y. Por esta razón, algunos autores utilizan los términos eje real y eje imaginario parareferirse, respectivamente, al eje x y al eje y del plano cartesiano (Fig. 1).

El modulo de z lo definiremos como |z|.
Como no sabemos cual es el valor de |z|, al ver lafigura nos podemos dar cuenta de que se puede usar el Teorema de Pitágoras, ya que en este caso |z| seria la hipotenusa, quedándonos algo así.
|z|2= a2+ b2
|z|2= a2+b2
|z|= a2+b2