Potencias y Logaritmos

UNIDAD 2

c)

Si el sueldo actual de un trabajador es de $1 500, ¿qué le conviene más, un aumento de 2%
bimestral durante cinco años o un aumento de 3% trimestral durante tres años?

2.2. Exponentes fraccionarios
Recordemos la expresión que representa una potencia,

Base

a

m
n

Exponente fraccionario

pero ahora con exponentes fraccionarios.
En la unidad 1 vimos que lapotencia con
exponente n entero y base a es igual que multiplicar

n veces la base a. De hecho, se permitía que el exponente tomara cualquier valor entero, positivo,
negativo o cero. Sin embargo, no existe ningún entero n que pueda satisfacer la ecuación:


(5n )(5n ) = 5



Ya que:
• si n > 0, entonces 5n > 5 y por lo tanto (5n )(5n ) > 5 × 5
• si n = 0, entonces 50 = 1 y por lotanto (5n )(5n ) = 1 × 1 = 1
1
• si n = − m con m > 0, entonces 5n = 5− m = m < 1
5
 1  1 
(5n )(5n ) =  m  m  < 1
 5  5 

y por lo tanto

Si consideramos que también podemos utilizar exponentes fraccionarios y suponemos
que podemos usar las leyes de los exponentes, ¿cuánto debe valer n para que la siguiente
igualdad sea válida?

(5n )(5n ) = 5
De acuerdo con las leyes delos exponentes:

(5n )(5n ) = 5n + n = 52 n
Por lo que la ecuación inicial se transforma:

52 n = 5 = 51
Cuya solución es 2 n = 1 , es decir, n =

 1   1   1+1 
1
2
2
2 2
5  5  = 5  = 5 = 5
   


1
2

Si seguimos aplicando la ley de los signos tendremos:
m

m
 1
n
n
a  = a
 

De esta forma podemos extender las leyes de los exponentes parafracciones:
m k
,
y números a > 0 , b > 0 .
n l
54

Fundamentos para el análisis matemático

Ejemplo:
m
n

k
l

a ⋅a = a

m

an
a

k
l

m k
+
n l

1

+3

13

= 54

Ejemplo:

m k
−
n l

=a

1

5 4 ⋅ 53 = 5 4

45
4

k

2
3

=4

5−

2
3

13

= 43

Ejemplo:

m  k

 
  
 m l
a n  = a  n  l 

 

2

7

 14
  (2 )
 7
3 4  = 3 4  = 3 4

 

Ejemplo:
m
n

m
n

(ab) = a ⋅ b

2

m
n

2

Ejemplo:

m
n

m
n

2

(5 ⋅ 3)3 = 5 3 3 3

a
a
  = m
b
bn

4

4

 2 3 23
  = 4
3
33
Ejemplo:

a

m
−
n

=

1
a

3

m
n

−

2
4

=

1
2

34

m

Nota: Nunca olvides que es necesario a > 0 , porque aunque a n puede
mtener sentido para a < 0, y algún
, también puedes llegar a resultados
n
contradictorios.



Por ejemplo:
1

1



((−1)2 )2 = (1)2 = 1



y



(−1)



Por lo tanto:



((−1)2 )2 ≠ (−1)



La diferencia proviene de aplicar las leyes de los exponentes a una base negativa,

1
(2 ) 
 
2

1

2

= (−1)2 = (−1)1 = −1

1
(2 ) 
 
2

eneste caso (–1).

55

UNIDAD 2

Ejemplo 7


Simplifica las siguientes expresiones.
1

2

1 2
+
3

a) a 2 ⋅ a 3 = a 2
3

b)

a5
a

3 1
−
4

= a5

1
4

 3
c)  a 7 
 

−

1
3

=a

=a

=a

12 − 5
20

 3  1 
  − 
 7  3 

3+ 4
6

7

= a6

7

= a 20

=a

−

3
21

1

=

3

a 21

1

1

 1 7
= 1 =
a
a7  

4

2

4

 3  2 
 2  2 
6
4
−
 −  
  
(b)21 (b)21
 − 3 2 3
d)  a 4 b 7  = (a) 4  3  (b) 7  3  = (a) 12 (b)21 =
=
6
1


(a)12 (a)2
5
(2 ) 
 

5
6

10
6

a
a
a 
e)  3  =
= 15
5
(3) 
 
b 

b6
b 6
2

6

 1
a
a3
= 5 = 1

b2  b2

Actividad 2
Simplifica las siguientes expresiones.a)

4

5

a3 ⋅ a4 =
3

a2
b) 4 =
a
6

c)

a7

5

=

a2
2

 3 3
d)  a 5  =
 
4

 a5  5
e)  10  =
b 
 4 
f)  a 3 b 2 



56

−

6
2

=

5
3

5






Fundamentos para el análisis matemático

Actividad 3
Utiliza las propiedades de los exponentes y las raíces para simplificar las siguientes expresiones.

a)...