Potencias y raices

POTENCIA

Definición

Sean a un número real y n un número natural, entonces:

a n = a × a ×.......× a ( n factores a )

Ejemplo: 3 5 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243


Propiedades

Sean a y b números reales no nulos y n y k números enteros, entonces:

1 ) a 0 = 1

Ejemplo:(  4 ) 0 = 1

2 ) a 1 = a

Ejemplo:(  7 ) 1 =  7

3 ) a  n =Ejemplo:2  3 = =

4 ) a n × a k = a n + k

Ejemplo:2 3 × 2 4 = 2 3 + 4 = 2 7 = 128

5 ) a n ÷ a k = = a n  k

Ejemplo:4 5 ÷ 4 2 = = 4 5  2 = 4 3 = 64

6 ) ( a n ) k = a n k

Ejemplo:( 2 3 ) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64

7 ) a n × b n = ( a b ) n

Ejemplo:2 3 × 3 3 = ( 2 × 3 ) 3 = 6 3 = 216

8 ) a n ÷ bn = =

Ejemplo:6 4 ÷ 2 4 = = = 3 4 = 81

Signo de una potencia

Sean a un número real no nulo y n un número entero, entonces:

1 ) Si n es par, entonces a n > 0.

Ejemplos:5 4 = 625 (  5 ) 4 = 625

2 ) Si n es impar y a > 0, entonces a n > 0.

Ejemplo: 7 3 = 343

3 ) Si n es impar y a < 0, entonces a n < 0.

Ejemplo:(  7 ) 3 =  343


Orden de operaciones

El orden de operaciones con números reales, salvo paréntesis, es el siguiente:

1º ) Exponenciación

2º ) Multiplicación

3º ) Adición

Ejemplos:4 + 2 × 3 2 = 22

4 + ( 2 × 3 ) 2 = 40

( 4 + 2 ) × 3 2 = 54

( 4 + 2 × 3 ) 2 = 100

( ( 4 + 2 ) × 3 ) 2 = 324

Observación: Cuando hay solamente adiciones, osólo multiplicaciones, se opera de izquierda a derecha, salvo paréntesis.

Ejemplos:7  4 + 3 = 68 ÷ 4 × 2 = 4

7  ( 4 + 3 ) = 08 ÷ ( 4 × 2 ) = 1

POTENCIA Y RAIZ

POTENCIA DE EXPONENTE NATURAL

Definición:

Sean a  R y n  N , entonces:

1 )

2 )

Ejemplo:



Propiedades:

Sean a y b números reales, m y n números naturales,entonces:

1 )

Ejemplo:

2 )

Ejemplo:

3 )

Ejemplo:

4 )

Ejemplo:

5 )

Ejemplo:

POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO

Definición:

Sean a un número real no nulo y n un número natural, entonces:

1 )

Ejemplo:

2 )

Ejemplo:

Propiedades:

Sean a y b números reales no nulos, m y n números enteros,entonces se cumplen todas las propiedades de las potencias de exponente natural, excepto la última y además:

1 )

Ejemplo:

2 )

Ejemplo:

3 )

Ejemplo:

Signo de una potencia:

Sean a un número real no nulo y n un número entero, entonces:

1 ) a > 0  n par  > 0

Ejemplos:



2 ) a < 0  n impar  < 0

Ejemplo:RAIZ ENESIMA

Definición:

Sean a número real, n número natural mayor que 1 y b un número no necesariamente real, entonces:

 b es raíz enésima de a

Observación: Cada número real no nulo tiene n raíces enésimas. El 0 tiene solamente una.

Ejemplo:  – 2 es una de las seis raíces sextas de 64.

RAIZ ENESIMA PRINCIPAL ( O ARITMETICA )

Definición:i ) Si a  0 y n es par, entonces b es su raíz enésima principal si y sólo si:

y b  0

Ejemplo:  3 es la raíz cuarta principal de 81.

ii ) Si a es un número real y n es impar, entonces b es su raíz enésima principal si y sólo si:

y b es un número real

Ejemplo:  – 5 es la raíz cúbica principal de – 125.

Simbología:

Si bes raíz enésima principal de a, esto se simboliza de la siguiente forma:

Ejemplos:



Observación: Si a < 0 y n es par, entonces a no tiene raíz enésima principal real.

Propiedades:

Sean a y b números reales positivos, m y n números naturales mayores que 1 y p número entero, entonces:

1 )

Ejemplo:

2 ) > 0

Ejemplo:

3 ) n...