Potencias Y Raices

POTENCIAS
Definición À

Una forma abreviada de escribir una multiplicación donde se repite el
mismo factor 8 veces se denomina Potencia. El factor que se repite
se llama base y las veces que se repite se llama exponente.
Así, a 8 − ™ se tiene:

Exponente

n
a1⋅4a4⋅2
a ⋅4...4⋅3a = a n
n veces

a

Base

Por ejemplo :
+Ñ

La cuarta potencia de 2 se escribe 2% œ # † # † # † # œ "'

,Ñ

La quintapotencia de 3 se escribe

3& œ $ † $ † $ † $ † $ œ #%$

PROPIEDADES:
I. 

Potencias de igual base.

a) Producto de potencias de igual base À
Para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los
exponentes.

a n ⋅ a m = a n+m

Ejemplo:
+Ñ

B2 † B 3 œ B2 + 3 œ B&

,Ñ

:# † :% † :) œ :#a%b) œ :#

b) División de potencias de igual base:
Para dividir potencias de igual base,se conserva la base y se restan los exponentes.

an
n
m
n−m
m = a :a = a
a

; con a ≠ 0

Ejemplo:
+Ñ

7 # À 7 $ œ 7 # Ð$Ñ œ 7#a$b œ 7&

,Ñ

#% ƒ #' œ #%a'b œ #%a'b œ ##

II. 

Potencias de igual exponente.

c) Producto de potencias de igual exponente:
Para multiplicar potencias de igual exponente, se multiplican las bases y se
conservan los exponentes.

(a ⋅ b )m

= am ⋅ bmEjemplo:
+Ñ
,Ñ

%# † %# œ a% † %b# œ "'# œ #&'

23 † Š" "# ‹ œ Š# † $# ‹ œ $$ œ #(
$

$

d) División de potencias de igual exponente:
Para dividir potencias de igual exponente, se dividen las bases y se conserva
el exponente.

am
m
m
m
m = a : b = (a : b )
b
Ejemplo:
+Ñ

%& À #& œ Ð% À #Ñ& œ Ð#Ñ& œ $#

,Ñ

*"! À *"! œ a* À * b"! œ ""! œ "

; con b ≠ 0

III. 

Potencia elevada a potencia.
Para elevaruna potencia a una potencia, se conserva la base y se multiplican
los exponentes.

(a n )m = a n⋅m
Ejemplo:
+Ñ

(32 )3 œ (3)# †$ œ $'

,Ñ

ˆ %*
‰# œ Šˆ (* ‰# ‹ œ ˆ (* ‰# †# œ ˆ (* ‰%
)"

IV. 

Otras propiedades

#

- Toda potencia elevada a exponente uno es igual a su base.
a" œ a
Ejemplo
Ð #BC Ñ " œ #B C
- Toda potencia de exponente cero es igual a uno.
+! œ 1 , + Á 0
Ejemplo
a$ + # 7 $ 8 ' b œ "!

Las propiedades de potencias permiten obtener el valor numérico de algunas
expresiones algebraicas:
+Ñ

Calcule el valor de

V œ +#  #+,  ,# ß

si + œ "! y , œ (

V œ a"!b#  # † a"!b † a(b  a(b#
V œ "!!  "%!  %*
Vœ*

 Toda potencia de exponente negativo es igual a uno dividido por la potencia
con exponente positivo.

a

–n

esta expresión se puede escribir como:

a −n =

1

; a ≠0

anEjemplo:

1
y

1

–7

y –7

7

y
Aplicando
Propiedad

y7

Aplicando
Propiedad

y –7

 Toda potencia de base fraccionaria con exponente negativo es igual al
recíproco de la base y exponente positivo.
+ 8
,
Š ‹ =Œ 
,
+

8

, + Á !, , Á !

Ejemplo:
+Ñ

,Ñ

$B
Œ $
+

%

+$
œ Œ 
$B

Obtenga el valor de

%

X œ +#  #+,  ,#  a+  ,b!

X œ a#b#  # † a#b † a%b  a%b#  "
X œ

"
%

X œ

%
"' "' 

X œ 



#&'
"'

#'(
"'

"
"'



"

"
"'



"'
"'

si + œ # y , œ %

Ejercicios de Potencias

I) Simplifique las siguientes expresiones y luego calcule el resultadoÞ

"Ñ

$# $&
$%

#Ñ

$Ñ Ò Ð  #Ñ$ Ó#

Ð## Ñ%
#'

%Ñ Ò Ð  "Ñ" Ó"

&Ñ Ð$' À *' Ñ Ð")# À '# Ñ
'Ñ

Ð  ( Ñ #  Ð  #Ñ$  Ð  (Ñ$  Ð  # $ Ñ

(Ñ

Ð  "Ñ"  Ð  "Ñ#  Ð  "Ñ$  Ð  "Ñ%

)Ñ

Ð  "Ñ& Þ Ð  #Ñ $  Ð  $Ñ# ÞÐ %Ñ#

II) Simplifique las siguientes expresiones y de la solución sin exponentes negativosÞ
"Ñ

#B$ C # D
B$ C % D #

#Ñ Š

$Ñ

+,"
+# ,
†
Ð+,Ñ" ,#

%Ñ

Ð$,# .ÑÐ#ÑÐ,. $ Ñ#
"#,$ . "

'Ñ

Ð#BD # Ñ$ ÐB# DÑ
#BD #

&Ñ œ

Ð+,# Ñ" "

Ð,+# Ñ#

(Ñ

+ $,
- & ,%
Þ
Œ %  Œ % 
+

*Ñ

Ð  #B# C & Ñ Ð  $B$ C! Ñ

""Ñ

$B# C $
#) C $
Œ % #Þ

( B D $$ B % D $

"#Ñ

# B # C $ D "
$ B # C $ D "
À
Œ
+&
+ &

"$Ñ

+ $ , # - %
+ % , " - $
Þ
Œ

Œ

. #
. $

#

#

 #BC " # $ #
‹ ÐB C Ñ
D#

)Ñ

B# C$
B %C &
À
Œ &  Œ ) 
D
D

"!Ñ

Œ

$

%

(

"

#

$

$+#
,-#

Œ

,$ - !
*+%
%

#

$

"%Ñ

B # C $ D %
 Ÿ
Œ
+$

"&Ñ

#" + # , % - %
B #
Þ
 Ÿ  Œ $ " #  Ÿ
Œ
B$
#+ , -

$

$

$

%

#

+% ,$ - # " #
+% ,# - & $
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