Potencias

2 POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS

E J E R C I C I O S

P R O P U E S T O S

2.1 Escribe cada potencia como producto y calcula su valor. b) 45 c) ( 8)3 a) ( 7)3 a) ( 7)3 ( 7) ( 7) ( 7) 5 4 4 4 4 4 1024 b) 4 343 c) ( 8)3 d) ( 3)4

d) ( 3)4 512 ( 3) 81

( 8) ( 8) ( 8) ( 3) ( 3) ( 3)

2.2 Expresa como potencias de base negativa. a) 49 b) 8 c) 16 a) 49 ( 7)2 b) 8 ( 2)3 c) 16 ( 4)2

d) d)27 27 ( 3)3

2.3 Halla las potencias sucesivas de ( 1) y explica qué observas. 1, ( 1)2 1, ( 1)3 1, ( 1)4 1… ( 1)1 Si el exponente es par, el resultado es 1. Si el exponente es impar, el resultado es 2.4 Escribe como una sola potencia. b) ( 5)8 ( 5)3 a) 24 26 24 6 a) 24 26 8 b) ( 5) ( 5)3 210 ( 5)8
3

1.

c) [( 9)2]
2 3

3

d) ( 4)3
3

( 4)3 ( 4)

( 4) ( 4)6 ( 4) ( 4)5

( 5)5

c) [( 9) ] ( 9)2 3 ( 9)6 3 3 d) ( 4) ( 4) ( 4) ( 4)3

2.5 Sustituye a por el número que corresponda. ( 4)7 b) ( 6)12 a) ( 4)5 ( 4)a

[( 6)4]a

( 6)4 ( 6)4 ⇒ 12 4a 4⇒a 2

a) ( 4)5 ( 4)a ( 4)7 ⇒ ( 4)5 a ( 4)7 ⇒ 5 a 7⇒a 2 12 4 a 4 12 [( 6) ] ( 6) ⇒ ( 6) ( 6)4 a ( 6)4 ⇒ ( 6)12 4a b) ( 6) 2.6 Escribe como una sola potencia. b) ( 15)4 54 a) 35 ( 7)5 a) 35 ( 7)5 [3 ( 7)]5 ( 21)5 b) ( 15)454 [( 15) 5]4 ( 3)4 2 2 2 c) ( 8) ( 4) 3 [( 8) ( 4) 3]2 2.7 Copia y completa. ( )4 a) ( 2)4 ( 3)4 a) ( 2)4 ( 3)4 64 6 6 b) ( 18) ( 9) 26

c) ( 8)2

( 4)2

32

(96)2

b) ( 18)6

( 9)6

2

c) ( )3

53

( 25)3

d) 72

( )2

22

( 42)2

c) ( 125)3 53 ( 25)3 2 2 2 d) 7 ( 3) 2 ( 42)2

2.8 Sustituye las letras por los números que hagan que las igualdades sean ciertas. (36)9 b) 25 ( 8)5 ( 16)a c) ( 9)a 34 ( 3)4 a) ( 6)9 ( 3)9 ( 2)a a) a b) a c) a d) a 9. En efecto, ( 6)9 ( 3)9 ( 5. En efecto, 25 ( 8)5 [2 4. En efecto, ( 9)4 34 [( 2 2, b 6. En efecto, ( 30) 216 8 2)9 [( 6) ( 3) ( 2)]9 5 ( 8)] ( 16)5 4 9) 3] ( 3)4 ( 5)2 [ 30 ( 5)]2 62 ( 36)9

d) ( 30)a

( 5)a

b2

2.9 Escribe

( 5)3 en forma de potencia y calcula el resultado. 33 y 8 (33 23) 23. Aplicandoen primer lugar la propiedad conmutativa, y poste23 ( 5)3 33 (23 23) ( 5)3 33 1 ( 5)3

Descomponiendo 216 y 8 se obtiene: 216 23 riormente la asociativa: (23 33) 23 ( 5)3 216 8 ( 5)3 3 3 3 3 ( 5) 15
22

2.10 Estudia si son cuadrados perfectos. a) 64 b) 70 c) 100 d) 225

e) 111 81.

64. a) Sí es cuadrado perfecto. En efecto, 82 64, 92 81 y 64 70 b) No es cuadrado perfecto, ya que 82 2 100.c) Sí es cuadrado perfecto. En efecto, 10 225. d) Sí es cuadrado perfecto. En efecto, 152 2 100, 112 121 y 100 e) No es cuadrado perfecto, ya que 10 2.11 Calcula la raíz cuadrada exacta de 196.

111

121.

Se puede resolver por tanteo. En el ejercicio anterior se ha visto que 112 121 y 152 225. Como 121 196 225, el número buscado ha de ser mayor que 11 y menor que 15. 144, 132 169, 142 196.Probando: 122 14. La raíz cuadrada exacta de 196 es 14. Se escribe 196 2.12 Calcula la raíz cuadrada entera y el resto de los siguientes números. a) 7 b) 39 c) 13 d) 55 e) 110 4 y 32 9. Como 4 7 9, se tiene que el mayor entero cuyo cuadrado es menor que 7 es 2 y a) Se observa que 22 7 22 3. La raíz cuadrada entera de 7 es 2, y el resto, 3. Se puede escribir de la siguiente forma: 7 22 3. 2 2 36 y7 49. Como 36 39 49, se tiene que el mayor entero cuyo cuadrado es menor que 39 es 6 b) Se observa que 6 y 39 62 3. La raíz cuadrada entera de 39 es 6, y el resto, 3. Se puede escribir de la siguiente forma: 36 62 3. 2 2 9y4 16. Como 9 13 16, se tiene que el mayor entero cuyo cuadrado es menor que 13 es 3 c) Se observa que 3 y 13 32 4. La raíz cuadrada entera de 13 es 3, y el resto, 4. Se puedeescribir de la siguiente forma: 13 32 4. 2 2 49 y 8 64. Como 49 55 64, se tiene que el mayor entero cuyo cuadrado esmenor que 55 es 7 y d) Se observa que 7 55 72 6. La raíz cuadrada entera de 55 es 7, y el resto, 6. Se puede escribir de la siguiente forma: 55 72 6. 2 2 100 y 11 121. Como 100 110 121, se tiene que el mayor entero cuyo cuadrado es menor e) Se observa que 10 que 110 es 10 y 110 102...