Potencias

23 de marzo del 2015 Odette Flores Robles“Integración de potencia seno y coseno”
La integración trigonométrica se basa en una gran variedad de identidades que están disponibles para el estudiante. Conocerque propiedades usar hará el cálculo de integración sencillo (incluso potencias de seno y coseno).
En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienenpotencias de seno y coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de laexpresión en términos de seno).
La identidad sen2x+cos2x=1permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno.
cuando n es impar
Cuando n= 2k+ 1, podemosapartar un factor del seno y sustituirlo por la identidad sen2x= 1 − cos2xpara poder expresar los factores restantes en términos del coseno:




Al tener el integral deesta forma se puede resolver por medio de sustitución haciendo u= cos(x), du= − sen(x)dx. Como en la expresión no tenemos un − sen(x)dxmultiplicamos ambos lados por * ( −1) y nos queda la expresión − du= sen(x)dxque ya podemos sustituir:

Cuando m es impar
Cuando m= 2k+ 1, podemos de la misma manera apartar un factor de coseno y emplearcos2x= 1 − sen2xpara poder expresar los factores restantes en términos del senx:




al hacer u= senxy du= cosxdx tendríamos

Cuando m y n son pares
Cuando dichas potenciasson pares a la vez n= 2ky m= 2p, podemos aplicar las identidades de la mitad de ángulo - y-
Algunas veces nos será útil utilizar la identidad



seria igual a: