PPT_APLICACIONES DEL ALGEBRA LINEAL

“Aplicaciones del Algebra
Lineal”

INTRODUCCIÓN.
• Los modelos lineales o sistemas de ecuaciones
lineales son utilizadas frecuentemente para la
elaboración de modelos matemáticos en la
economía y en la ingeniería, donde se generan
infinidades de datos provenientes de análisis
estadísticos, que posteriormente son analizadas y
resueltas por medio de programaciones en la
computadora.

OBJETIVOS.
•Que el estudiante conozca algunas aplicaciones del Algebra
Lineal en los diferentes campos de la Ingeniería.
 
• Balancear una ecuación química utilizando un método
sistemático que consiste en establecer una ecuación que
describa el número de átomos de cada tipo presente en una
reacción.
• Plantear, describir y resolver un problema de nutrición
mediante una ecuación lineal, principalmente enforma
vectorial o matricial.
• Encontrar las cantidades y proporciones correctas de
nutrimentos deseadas proporcionadas por 100 gramos de
cada ingrediente.

MARCO TEÓRICO
• Ecuaciones Lineales
• Una ecuación lineal en las variables x1, . . . , xn es una
ecuación que puede escribirse de la forma a1x1 + a2x2
+···+ anxn =b
• Ejemplo: 2x1 − x2 + 1.5x3 = 8

• Notación Matrical
• La información esencial deun sistema lineal puede
registrarse de manera compacta en un arreglo rectangular
llamado matriz.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN.
• Cuando se quema gas propano (C3H8),
éste se combina con oxígeno (O2) para
formar dióxido de carbono (CO2) y agua
(H2O), de acuerdo con una ecuación de
la forma
• (x1)C3H8 + (x2)O2→ (x3)CO2 +(x4)H2O

Para balancear la ecuación (4), los coeficientes x1, . . . , x4 debesatisfacer

• Como la ecuación involucra tres tipos de átomo (carbono,
hidrógeno y oxígeno), construya un vector en R3 para cada
reactivo y producto en (4) que enliste el número de “átomos
por molécula”, como sigue:

• Para balancear la ecuación (4), los coeficientes x1, . . . , x4
debe satisfacer

• Para resolver, traslade todos los términos a la izquierda
(cambiando los signos en los vectorestercero y cuarto):

• La reducción por filas de la matriz aumentada para esta
ecuación conduce a la solución general.
x1= 1/4x4, x2 = 5/4x4, x3 = 3/4x4, con x4 libre.
• Como los coeficientes en una ecuación química deben ser
enteros, tome x4 = 4, en tal caso, x1 = 1, x2 = 5 y x3 = 3. La
ecuación balanceada es:

C3H8 + 5O2 → 3CO2 + 4H2O

Diseño de una dieta nutritiva para
perder peso.
• Para encontrarlas cantidades y proporciones de
nutrimentos deseadas, el doctor Howard tuvo que
incorporar una gran variedad de comestibles en la dieta.
Cada comestible proporcionaba varios de los
ingredientes necesarios, pero no en las proporciones
correctas

.

• El ejemplo siguiente ilustra el problema a pequeña
escala. En la tabla 1 se mencionan tres de los
ingredientes de la dieta, junto con las cantidadesde
ciertos nutrimentos proporcionadas por 100 gramos de
cada ingrediente.

TABLA 1.DIETA PARA EL CONTROL
DE PESO

Escalar
Vector
(X1 Unidad de leche desgrasada).(nutrimentos por unidad de
leche desgrasada)=X1a1

• Donde a1 es la primera columna de la tabla 1. Sean a1 y a3
los vectores correspondientes para harina de soya y suero,
respectivamente, y sea b el vector que enlista el total denutrimentos requerido (la última columna de la tabla).
Entonces x2a2 y x3a3 dan los nutrimentos proporcionados
por x2 unidades de harina de soya y x3 unidades de suero,
respectivamente. Así, la ecuación deseada es:

• x1a1 + x2a2 + x3a3 =b
• La reducción por filas de la matriz aumentada para el
sistema de ecuaciones correspondiente muestra que:

RESOLVIENDO LA MATRIZ.

RESULTADOS.
• Con exactitud detres dígitos, la
dieta requiere de .277 unidades de
leche desgrasada, .392 unidades de
harina de soya, y .233 unidades de
suero
para
proporcionar
las
cantidades deseadas de proteínas,
carbohidratos y grasa.

DISCUSION DE RESULTADOS.
• Es importante que los valores de x1, x2 y x3 encontrados
anteriormente sean no negativos. Esto es necesario para que
la solución sea factible físicamente. (Por...