Pràctica 2 Mates

Matemàtiques I

n

Pràctica 2: Espai vectorial R (II):
Sistema de generador i base de l’espai vectorial. Subespai vectorial

Objectiu:
•
•

Repassar els conceptes de sistema generador i base del’espai vectorial
n
R .
n
Distingir si un subconjunt d’ R és subespai vectorial i, en cas afirmatiu,
calcular-ne bases i la seva dimensió.

Exercicis:
1. Donat el conjunt de vectors d’ R3

{(2, 1, 1), (1, 0,1), (3, 0, −2)},
verifiqueu que formen base d’ R3 . Calculeu els components del vector (5, 2, −1) en aquesta
base.
2. Coneixem dos dels tres vectors que formen una base d’ R3 :

{(−1, 4, 3) , (2, −1,1) , (a, b ,c)}
i sabem també que els components del vector (5, 1, 4) quan l’expressem en aquesta base
són (1, 3, 1). Podem saber quin és el vector (a, b ,c) que falta per completar la base?
3. Elsvectors
{(1, −3, 2) , (5, 2, −1), (7, 13, −8), (13, −5, 4)}
formen un sistema de generadors d’ R3 ? Són linealment independents? Són base d’ R3 ?
4. Determineu el valor del paràmetre a ∈ R per tal queels vectors

{(2, 1, 1) , (-4, 0, -2) , (-1, 5 ,a)}
siguin base d’ R3 .
5. Estudieu si els conjunts següents són subespais vectorials:

{( x, y, z ) ∈ R3 / x + 2 y − z = 4} .
S = {( x, y ) ∈ R 2 / x 2− y 2 = 0} .

a) S =
b)

⎧

c) S = ⎨( x, y ) ∈ R 2 /

⎩

⎫
x− y
= 0⎬ .
x+ y
⎭

{( x, y ) ∈ R2 / 2 x − y = 0} .
S = {( x, y, z ) ∈ R3 / y = 2 x, z = x + 3 y} .

d) S =
e)

 

-1-

Matemàtiques I
6.Els següents conjunts són subespais vectorials. Calculeu una base i la dimensió de cada
un d’ells:

{( x, y ) ∈ R2 / x − 5 y = 0} .
S = {( x, y, z ) ∈ R3 / 2 x + 3 y = 0} .
S = {( x, y, z , t , u ) ∈R5 / x − y − z + u = 0, x + y − t = 0, x − 2t + u = 0} .

a) S =
b)
c)

És possible obtenir una base diferent a la que heu calculat? Raoneu la resposta.

Solucions:

7
5

1. Els components del vector(5, 2, −1) en aquesta base són λ1 = 2, λ2 = − , λ3 =
2. a = 0, b = 0, c = −2 .

3. No són sistema de generadors d’ R3 , ni linealment independents, ni base d’ R3 .
4. a ≠ −

1
.
2

5.
a)
b)
c)
d)...