Pràctica 4

Matemàtiques I

Pràctica 4. Espai euclidià (II):
Formes quadràtiques

Objectiu:
•
•
•

Obtenir l’expressió d’una forma quadràtica a partir de la seva matriu
associada.
Obtenir la matriu associada auna forma quadràtica a partir de la seva
expressió.
Determinar el signe d’una forma quadràtica i d’una forma quadràtica
restringida.

Exercicis:
1. Calculeu la matriu associada a la forma quadràtica d’R 3 definida per

f ( x, y, z ) = 2 x 2 + 4 y 2 − 3 xy + 6 xz − 8 yz .
2. Determineu l’expressió f ( x, y, z ) de la forma quadràtica que té per matriu associada

2 3 1 


A = 3 5 2  .
 1 2 −4


3. Donada la forma quadràtica d’ R 3

f ( x, y, z ) = 2 x 2 − y 2 + 3 xy + 5 xz

quina és la expressió d’aquesta forma quadràtica restringida al subespai vectorial d’ R 3
definit per S = ( x,y, z ) / 2 x − z = 0 ?

{

}

4. Donada la forma quadràtica d’ R 3 que té per matriu associada

3 1 1 


A =  1 0 −5 
 1 −5 4 


determineu quina és la matriu associada de la forma quadràticarestringida al subespai d’

R3 definit per S = {( x, y, z ) / x + y + z = 0} .

5. Donada la forma quadràtica d’ R 3

f ( x, y, z ) = 3 x 2 + 2 y 2 − z 2 + 3 xy − 2 yz
es demana:
a) Determineu el seusigne.
-1-

Matemàtiques I
b) Si la restringim a un subespai vectorial, la nova forma quadràtica pot ser definida
positiva? Pot ser definida negativa?
c) Quin és el signe de la forma quadràticarestringida al subespai vectorial d’ R 3 definit
per S = ( x, y, z ) / y − 2 z = 0 ?

{

}

d) Quin és el signe de la forma quadràtica restringida al subespai vectorial d’ R 3 definit
per S = ( x, y, z )/ x + y − z = 0 ?

{

}

6. Donada la forma quadràtica d’ R 3

f ( x, y, z ) = 3 x 2 + 3 y 2 − z 2 + 10 xy
es demana:
a) Determineu el seu signe.
b) Determineu el signe de la forma quadràticarestringida al subespai vectorial d’ R 3
definit per S = ( x, y, z ) / z = 3 x + 3 y .

{

}

Solucions:

−3
 2
3
2



−
3
1. A =
4
−4  .
 2

 3
−4
0 


2. f ( x, y, z ) = 2 x 2 + 5 y 2 − 4 z...