Práctica 1 Integral 1

Criterio de la Primera derivada.
Saber que una función tiene, o no, extremos relativos es de gran ayuda al trazar su gráfica. En la sección 5.2 (teorema 5.2.2) vimos que cuando una función tiene unextremo relativo debe ocurrir en un número crítico. Al encontrar los números críticos de una función, tenemos una lista de candidatos para las coordenadas x de los puntos que corresponden a extremosrelativos. A continuación se combinarán las ideas de las primeras secciones de esta unidad para establecer dos pruebas para determinar cuándo un número crítico es en realidad la coordenada x de unextremo relativo.

Prueba de la primera derivada Suponga que f es continua sobre el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable sobre un intervalo abierto (a, b), excepto tal vez en un número crítico cdentro del intervalo. Si para toda en y para toda en entonces en la grafica de sobre el intervalo puede ser como se muestra en la figura 1.

Figura 1
Es decir, es un máximo relativo. Por otraparte, cuando para toda en y para toda x en entonces, como se muestra en la figura 2, es un mínimo relativo.


Figura 2


Sea f continua sobre [a, b] y diferenciable sobre (a, b) excepto tal vez enel número crítico c.

i) Si f ¿(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f (c) es un máximo relativo.
ii) Si f ¿(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f (c) es un mínimo relativo.iii) Si f ¿(x) tiene el mismo signo algebraico a cada lado de c, entonces f (c) no es un extremo.

Las conclusiones del teorema pueden resumirse en una frase:

Una función f tiene un extremo relativo enun número crítico c donde cambia de signo.

En la figura 3 se ilustra cuál sería el caso cuando no cambia de signo en un número crítico c. En las figuras se muestra una tangente horizontal en ypero no es ni máximo ni mínimo relativo. En la figura 3 se muestra una tangente vertical en y así no existe, pero de nuevo no es un extremo relativo porque no cambia de signo en el número crítico...