Práctica 1cd

PRÁCTICA 1. OPERACIONES CON MATRICES
Las matrices se definen como listas, cuyos elementos son a su vez listas (las filas
de la matriz), estas últimas todas de la misma longitud.
a={{1,2,1,2},{1,0,2,-1},{4,3,2,1}}
es una matriz con 3 filas y 4 columnas. Con el modificador //MatrixForm
conseguimos que la matriz se presente en su forma habitual:
a//MatrixForm

Nota: No se debe incluir //MatrixFormcomo parte de la definición
de una matriz; en lugar de ello, debe utilizarse con una orden
independiente:
a={{1,2,1,2},{1,0,2,-1},{4,3,2,1}};a//MatrixForm
en lugar de
a={{1,2,1,2},{1,0,2,-1},{4,3,2,1}}//MatrixForm
SUMA DE MATRICES
Sólo se pueden sumar matrices de las mismas dimensiones. Por ejemplo:
a={{1,2,1,2},{1,0,2,-1},{4,3,2,1}}
b={{0,3,2,-1},{9,2,-1,0},{0,0,0,1}};
a+b//MatrixForm

EJERCICIO1.
Definir dos matrices de 4 filas y 2 columnas (las llamaremos a y b).
Hallar su suma y hacer que ésta se muestre en su forma habitual.

PRODUCTO ESCALAR
El producto de un escalar por una matriz se realiza en Mathematica separando
ambos con un espacio:
a={{1,2,1,2},{1,0,2,-1},{4,3,2,1}};
3 a//MatrixForm

También se puede usar * para el producto escalar:
3*a//MatrixForm
EJERCICIO 2
Calcular 4a -12 b (para a y b las matrices definidas en el Ejercicio 1) y
mostrar el resultado en forma matricial.

MATRIZ TRASPUESTA
La orden de Mathematica para calcular la traspuesta es Transpose
c={{1,2},{3,4},{5,6},{7,8}};
Transpose[c]//MatrixForm

PRODUCTO DE MATRICES
El producto de matrices se realiza en Mathematica con el operador .
c={{1,2},{3,4},{5,6},{7,8}};c//MatrixForm

a.c//MatrixForm

Elproducto c.a no estaría definido.
EJERCICIO 3
Calcular a.bt , b.a t , a t b y bt a (para a y b las matrices definidas en el
Ejercicio 1) y mostrar los resultados en forma matricial (observar la falta
de conmutatividad).

MATRICES REGULARES
Para una matriz cuadrada regular, la orden Inverse de Mathematica permite
calcular su inversa
d={{1,2,3},{4,5,6},{7,8,1}};d//MatrixForm

Inverse[d]//MatrixFormComprobamos
d.Inverse[d]//MatrixForm

Inverse[d].d//MatrixForm

EJERCICIO 4
Calcular las inversas de las cuatro matrices del ejercicio 3 y mostrar los
resultados en forma matricial.
EJERCICIO 5
Estudiar si las siguientes matrices son o no regulares, y calcular la
inversa cuando sea posible.
æ 3 1 8ö
æ1 1 5 ö
ç
÷
ç
÷
A = ç4 5 7÷ , B = ç5 3 2 ÷
ç 1 4 8÷
ç 7 5 12 ÷
è
ø
è
ø
EJERCICIO 6
Estudiar para quévalores de a Î £ tiene inversa la siguiente matriz y
calcular dicha inversa.
æ1 1 1ö
ç
÷
A = ç1 a a 2 ÷
ç
2
3÷
è1 a a ø

DETERMINANTES
La orden Det de Mathematica permite calcular el determinante de una matriz
cuadrada:
d={{1,2,3},{4,5,6},{7,8,1}};
Det[d]
24
EJERCICIO 7
Calcular los determinantes de las cuatro matrices del ejercicio 3.
EJERCICIO 8
Calcular el determinante de la siguiente matriz,
æ1a a 2 a3 ö
ç
÷
ç 1 b b 2 b3 ÷
A=ç
÷
2
c3 ÷
ç1 c c
ç
÷
2
d3 ø
è1 d d
y concluir que | A |¹ 0 si y sólo si a, b, c y d son distintos.

POTENCIA DE UNA MATRIZ CUADRADA
La orden MatrixPower permite calcular una potencia entera de una matriz
cuadrada.
d={{1,2,3},{4,5,6},{7,8,1}};
MatrixPower[d,10]//MatrixForm

MatrixPower[d,-1]//MatrixForm

Lo anterior es otra forma de calcular matrices inversas.EJERCICIO 9
Dadas las siguientes matrices fila,
u = (12 -31 41 55 ) , v = ( -51 22 23 -24 ) , w = ( 23 30 55 16 ) ,
Calcular: a) det[u t v] ; b) (vu t )4 ; c) (u t v)t wt .
EJERCICIO 10
Se consideran las matrices
æ 0 -1 1 ö
æ 3ö
ç
÷
ç ÷
A = ç -3 1 2 ÷ , B = ç -2 ÷ y C = ( 3 -2 1)
ç 4 -1 3 ÷
ç 1÷
è
ø
è ø
t
t
Calcular ( AB)C , A + BCA, AC y CC t .

FORMA ESCALONADA REDUCIDA POR FILAS
La orden RowReducedevuelve la forma canónica por filas de una matriz:
a={{0,-1,-1,1,0},{1,1,1,1,6},{2,4,1,-2,-1},{3,1,-2,2,3}};

RowReduce[a]//MatrixForm

EJERCICIO 11
Determinar cuáles de las siguientes matrices está en forma canónica por
filas. Reducir a forma canónica las que no lo estén:
æ 1 -1 0 ö
ç
÷
A = ç 0 0 1÷
ç 1 0 1÷
è
ø

æ 1 1 0ö
ç
÷
B = ç 0 1 0÷
ç 0 0 -1÷
è
ø

æ -1 1 -1 0 0 ö
ç
÷
C = ç 0 0 1 -2 0 ÷...