Práctica inducción

1

1.

Inducci´n matem´tica
o
a

1.1. Demuestre por inducci´n:
o
n

(g)

i=1
n

n

(e)
i=1

i · i! = (n + 1)! − 1

(i)

i=1

Co

n

Ri
ca

i=1

2

n(n + 1)
i =
2

2 · 3i−1 = 3n − 1

(h)

n−a

i=b

i=b−a

n

1
n
=
i(i + 1)
n+1

(j)

de

i=1

i · 2i = (n − 1) · 2n+1 + 2
n

n(n + 1)(2n + 1)
i =
6
3

(d)

i=0

i=1

2(c)

2i = 2n − 1

=

n

i=1
n

2
i=1

n

(b)

i−1

a

i=1

n−1

(f)

(2i − 1) = n2

(a)

n(n + 1)
i=
2

st

n

f (i) =

f (i + a)

1.2. Determine una f´rmula para las siguientes expresiones y demu´strela por inducci´n:
o
e
o
1−

1
4

1−

1
9

··· 1 −

n−1

1
n2

ol
og
´
ico

(a)

(b)
i=0

1
(i + m)(i + m + 1)

1.3. Hallela f´rmula para las siguientes sumas (utilice los resultados anteriores):
o
n+3

n

i2

(a)

(b)

2n

1.4. Determine n tal que

i=1

(i + 1)(2i − 3)

(c)

i=1

Te
cn

i=1

(2i − 1)2

(n+1)2

2n

i=2

(d)
i=n+1

1
(i − n)(i − n + 1)

n

i2 .

i=
i=1

1.5. Obtenga la ley general y demu´strela por inducci´n:
e
o
1
1−4
(a)
1−4+9
1 − 4 + 9 − 16=
=
=
=

1,
−(1 + 2),
1 + 2 + 3,
−(1 + 2 + 3 + 4)

1 + 1/2 = 2 − 1/2,
1 + 1/2 + 1/4 = 2 − 1/4,
(b)
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 = 2 − 1/8

(c)

1 − 1/2 = 1/2,
(1 − 1/2)(1 − 1/3) = 1/3,
(1 − 1/2)(1 − 1/3)(1 − 1/4) = 1/4

(d) (S´lo obtenga la f´rmula, sin demostraci´n)
o
o
o
1 = 1
2+3+4 = 1+8
5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 8 + 27
10 + 11 + · · · + 15 + 16 = 27 + 64

2

Respuestas1.3 (a)

n

3 2
4 5 3
6
, = , , = ,...)
4 3
6 8 5
10

(n + 3)(n + 4)(2n + 7)
6

(b)

1−
i=2

1
i2

=

n+1
2n

(2n − 1)(8n2 + 7n − 6)
(c)
(2i + 3i − 2) =
3
i=1
2

n2 +n+1

1
n2 + n + 1
= 2
i(i + 1)
n +n+2

(d)
i=1

(−1)

i = (−1)

i=1

1
1−
2

(c)

1
1−
3

n2

(b)
i=0
n

1
··· 1 −
n+1


1−

=
i=1

1
i+1

=

1
n+1n2

de

i=(n−1)2 +1

(n−1)2

n2

i = (n − 1)3 + n3 Para su demostraci´n:
o

(d)

i−

i=
i=(n−1)2 +1

i=1


i

i=1

Sucesiones

ol
og
´
ico

2.

1
1
= 2 − n+1
i
2
2

st

1.5 (a)

n+1

+ 1)
2

Co

n+1 n(n

a

1.4 n = 5
i+1 2

n
m(m + n)

n(2n − 1)(2n + 1)
3

2n−1

n

(b)

Ri
ca

1.2 (a) (Observe que

2.1. Simplifiquelas siguientes expresiones:
(a)

(2n + 1)!
(2n − 1)!

(b)

(n!)2
(n − 1)!(n + 1)!

(c)

[(k + 1)!]2 (2k)!
(2k + 2)!(k!)2

Te
cn

2.2. Una sucesi´n se dice aritm´tica, si dada una constante d y un valor inicial a1 , an+1 = an + d. Si
o
e
a1 , a2 , . . . es una sucesi´n aritm´tica, verifique lo siguiente:
o
e
(a) an+1 = a1 + d · n

n

(b)

ai =
i=1

n(a1 + an )
2n

(c)
i=1

1
n
=
ai ai+1
a1 an+1

2.3. La sucesi´n de n´meros 1, 4, 10, 19, . . . posee la propiedad de que la diferencia de dos n´meros
o
u
u
vecinos forman una progresi´n aritm´tica. Determine la f´rmula para el n-´simo t´rmino de la sucesi´n.
o
e
o
e
e
o
n

2.4. Una sucesi´n se dice geom´trica si dados a1 y r, se define an+1 = a1 rn . Sea adem´s Sn =
o
e
a

ai .i=1

Verifique que:
(a) Sn =

a1 (1 − rn )
1−r

(b) l´ Sn =
ım
n→∞

a1
, |r| < 1
1−r

(c)

Sn
S2n − Sn
=
S2n − Sn
S3n − S2n

3
2.5. Determine el valor de las siguientes sumas:
2n

(a)
i=1

∞

n+4

2i−1
5

i+1

(c)

−2 · 4

(b)

i=2

i=2

n

3
(−2)i

(d)
i=0

(−3)2i+1
2i−2

2.6. Determine el valor de b, b < 0, tal que 1 + eb + e2b + e3b + ·· · = 9.

Ri
ca

2.7. Determine el valor de 1 + 2r + r2 + 2r3 + r4 + 2r5 + · · · + r2n + 2r2n+1 .

2.8. Para las siguientes sucesiones definidas de forma recursiva, determine an en forma expl´
ıcita:
(c) a1 = −1, an+1 = 4 − 2an

(b) a1 = 1/3, an+1 = 3an + 1

(d) a1 = 7, an+1 = 2an − 6

st

a

(a) a1 = 3, an+1 = 2 − an

n

n

Fi = Fn+2 − 1

(a)

F2i = F2n+1 − 1

(b)...