PR CTICA Luis Angel Vergara Ramirez
Páginas: 5 (1073 palabras)
Publicado: 17 de agosto de 2015
Nombre de la asignatura:
Ecuaciones diferenciales
Nombre de la unidad de aprendizaje:
Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden
Nombre de la actividad de aprendizaje
Medición de la velocidad de drenado de un fluido por un orificio un fluido para calcular la constante de integración y la constante de proporcionalidad en una ecuación diferencial de primer orden de acuerdo a laley de Torricelli
Número:
Duración:
2 horas
Resultado de aprendizaje:
Al completar la práctica el alumno será capaz de: conocer el significado de las constantes de integración (“C”) y conocer el significado de la constante de proporcionalidad (“K”); además de conocer la representación física de las variables en una ecuación diferencial
Justificación:
El alumno aplicará los conocimientos previosde la asignatura de cálculo diferencial e integral, física, además de los conocimientos vistos en clase de ecuaciones diferenciales
Desarrollo:
Materiales y equipo:
Recipiente con un orificio de 3mm de diámetro.
Recipiente con volumen mayor.
Recipiente con volumen conocido, de 1 litro, 2 litros, etc.
Cronómetro
Agua
Regla graduada de 30cm
Marcador permanente color negro
Procedimiento:
1.Realizar mediciones de volumen de agua en el recipiente No. 1 para 1 litro, 2 litros, etc. y marcar con el marcador
2. Realizar mediciones con la regla graduada en el recipiente y marcar cada 2 cm
3. Preparar recipiente al cual se realizará el vaciado del recipiente No. 1
4. Tapar el orificio del recipiente No. 1 y llenarlo hasta un volumen conocido.
5. Iniciar el drenado del recipiente No. 1 alrecipiente No. 2, tomar el tiempo que tarda en drenar 1 litro y anotar los resultados en la Tabla 1.
TABLA 1. Registro del drenado del depósito No. 1
Experimental
Tiempo
volumen
Altura
0
1000
19
5
945
17.55
10
835
15
15
725
14.8
20
525
13.264
25
435
10.95
Descripción teórica de la ecuación diferencial
En hidrodinámica, la ley de Torricelli establece que la rapidez de salida del agua através de un agujero de bordes afilados en el fondo de un tanque lleno con agua hasta una profundidad es igual a la velocidad de un cuerpo (en este caso una gota de agua), que está cayendo libremente desde una altura , esto es, , donde es la aceleración de la gravedad. Esta última expresión surge al igualar la energía cinética, con la energía potencial, , y despejar
Suponga que un tanque lleno deagua se vacía a través de un agujero, bajo la influencia de la gravedad. Queremos encontrar la profundidad, , del agua que queda en el tanque al tiempo . Considere el tanque que se muestra en la Fig. 1. Si el área del agujero es , () y la rapidez del agua que sale del tanque es (en pies/s), entonces el volumen de agua que sale del tanque, por segundo, es ().
Asi, si denota al volumen de agua enel taque al tiempo , entonces:
Donde el signo menos indica que está disminuyendo. Observe que se está despreciando la posibilidad de fricción en el agujero que podría causar una reducción de la razón de flujo. Si ahora el tanque es tal que el volumen del agua al tiempo se expresa como , donde () es el área de la superficie superior del agua (véase la figura 1.3.2) entonces;
.
Sustituyendoestas últimas expresiones en la ecuación (9) obtenemos la ecuación diferencial que deseamos para expresar la altura del agua al tiempo
Texto extraído de la referencia [G. Zill, 2009].
Figura 1. Drenado de un tanque [G. Zill, 2009]
Formulación matemática de la ecuación diferencial para el drenado de un tanque.
DRENADO DE UN
TANQUE
Energía cinética = Energía potencial
La velocidad delagua que sale del tanque se obtiene al despejar para
El volumen de agua que sale del tanque se obtiene al multiplicar la velocidad por el área del orificio
La ecuación diferencial que representa la variación del volumen de líquido dentro del tanque se representa por la ecuación diferencial
En donde el signo negativo representa la reducción de volumen dentro del tanque.
Para obtener la...
Nombre de la asignatura:
Ecuaciones diferenciales
Nombre de la unidad de aprendizaje:
Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden
Nombre de la actividad de aprendizaje
Medición de la velocidad de drenado de un fluido por un orificio un fluido para calcular la constante de integración y la constante de proporcionalidad en una ecuación diferencial de primer orden de acuerdo a laley de Torricelli
Número:
Duración:
2 horas
Resultado de aprendizaje:
Al completar la práctica el alumno será capaz de: conocer el significado de las constantes de integración (“C”) y conocer el significado de la constante de proporcionalidad (“K”); además de conocer la representación física de las variables en una ecuación diferencial
Justificación:
El alumno aplicará los conocimientos previosde la asignatura de cálculo diferencial e integral, física, además de los conocimientos vistos en clase de ecuaciones diferenciales
Desarrollo:
Materiales y equipo:
Recipiente con un orificio de 3mm de diámetro.
Recipiente con volumen mayor.
Recipiente con volumen conocido, de 1 litro, 2 litros, etc.
Cronómetro
Agua
Regla graduada de 30cm
Marcador permanente color negro
Procedimiento:
1.Realizar mediciones de volumen de agua en el recipiente No. 1 para 1 litro, 2 litros, etc. y marcar con el marcador
2. Realizar mediciones con la regla graduada en el recipiente y marcar cada 2 cm
3. Preparar recipiente al cual se realizará el vaciado del recipiente No. 1
4. Tapar el orificio del recipiente No. 1 y llenarlo hasta un volumen conocido.
5. Iniciar el drenado del recipiente No. 1 alrecipiente No. 2, tomar el tiempo que tarda en drenar 1 litro y anotar los resultados en la Tabla 1.
TABLA 1. Registro del drenado del depósito No. 1
Experimental
Tiempo
volumen
Altura
0
1000
19
5
945
17.55
10
835
15
15
725
14.8
20
525
13.264
25
435
10.95
Descripción teórica de la ecuación diferencial
En hidrodinámica, la ley de Torricelli establece que la rapidez de salida del agua através de un agujero de bordes afilados en el fondo de un tanque lleno con agua hasta una profundidad es igual a la velocidad de un cuerpo (en este caso una gota de agua), que está cayendo libremente desde una altura , esto es, , donde es la aceleración de la gravedad. Esta última expresión surge al igualar la energía cinética, con la energía potencial, , y despejar
Suponga que un tanque lleno deagua se vacía a través de un agujero, bajo la influencia de la gravedad. Queremos encontrar la profundidad, , del agua que queda en el tanque al tiempo . Considere el tanque que se muestra en la Fig. 1. Si el área del agujero es , () y la rapidez del agua que sale del tanque es (en pies/s), entonces el volumen de agua que sale del tanque, por segundo, es ().
Asi, si denota al volumen de agua enel taque al tiempo , entonces:
Donde el signo menos indica que está disminuyendo. Observe que se está despreciando la posibilidad de fricción en el agujero que podría causar una reducción de la razón de flujo. Si ahora el tanque es tal que el volumen del agua al tiempo se expresa como , donde () es el área de la superficie superior del agua (véase la figura 1.3.2) entonces;
.
Sustituyendoestas últimas expresiones en la ecuación (9) obtenemos la ecuación diferencial que deseamos para expresar la altura del agua al tiempo
Texto extraído de la referencia [G. Zill, 2009].
Figura 1. Drenado de un tanque [G. Zill, 2009]
Formulación matemática de la ecuación diferencial para el drenado de un tanque.
DRENADO DE UN
TANQUE
Energía cinética = Energía potencial
La velocidad delagua que sale del tanque se obtiene al despejar para
El volumen de agua que sale del tanque se obtiene al multiplicar la velocidad por el área del orificio
La ecuación diferencial que representa la variación del volumen de líquido dentro del tanque se representa por la ecuación diferencial
En donde el signo negativo representa la reducción de volumen dentro del tanque.
Para obtener la...
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