PR_Integrales_Curvilineas_Superficie

Cálculo II 
Departamento de Matemáticas 

EJERCICIO Nº 1:  
Calcular la integral curvilínea: 
 
desde 

, 0  a 

0,

 a través de dos caminos diferentes: 

(a) C1: elipse de semiejes x = a, y = b. 
(b) C2: recta que une los puntos AB.  
 SOLUCIÓN: 
La integral curvilínea planteada nos permite calcular la circulación del campo vectorial 
 a través de la curva C. Comprobemos si dicho campo es conservativo:  
,
,
,

,

2

 con 
,

,

 e 

,

 

,

 

2

(a) Este apartado lo podemos resolver de dos formas: 
0,  

,0  

 
(a.1)  En paramétricas: Las ecuaciones paramétricas de una elipse de semiejes 
 son: 
a y b y centro  ,
cos
cos
sin
 
sin
sin
cos
Determinación de los límites de integración para la variable t: 
,0

0; 

0,

 

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sincos t

sin

sin

sin

cos

sin

1

sin

cos

cos

 

sin

sin

cos
3

cos

1

1
3

2
 
3
cos

cos

cos

1

cos

sin

sin

cos

cos

sin
3

sin

1

1
3

2
 
3
(a.2)   Considerando  la  ecuación  reducida  de  la  elipse  y,  por  ejemplo,  la  variable  x 
como parámetro: 
1
 

√

√
√
3

√

2
3

2
3

 
Para resolver la integral 
acos

 hacemos el cambio de variable siguiente: 

√

sin

.  Determinación de los límites de integración para la variable 

acos :  

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acos 1

0;

0

cos
√

cos
1

sin

sin

cos

cos

sin
1
3

sin

cos

cos

1

 

cos

√1

cos
sin

2

cos

sin

cos

√

acos 0

2
3

1

cos

sin
3

 

 
, 0  y 

(b) La ecuación de la recta que une los puntos 
0
0 0
Por lo tanto: 

0,

 es: 
 

2

3

2

2

 

Observaciones: 
1)De acuerdo con los resultados obtenidos, la circulación de un campo vectorial 
no conservativo depende del camino a través del cual circula. 
2) Los resultados de la integral se expresan en unidades de energía. 
 
 

 

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EJERCICIO Nº 2: 
Calcular la integral curvilínea: 
 
desde 

0,2  a 

2,0  a través de dos caminos diferentes: 

(a)C1: primer cuadrante de la circunferencia de centro (0,0) y radio 2.  
(b) C2: recta que une los puntos AB.  
SOLUCIÓN: 
La integral curvilínea planteada nos permite calcular la circulación del campo vectorial 
 a través de la curva C. 
Comprobemos si dicho campo es conservativo:  
,
,

,

 con 

2
,

,

,

 e 

,

,

 

 

1

(a) Este apartado lo podemos resolver de dos formas: 
(a.1) En paramétricas: Las ecuaciones paramétricas de una circunferencia de 
centro  ,
 y radio r son: 
cos
2cos
2sin
 
sin
2sin
2cos
Determinación de los límites de integración para la variable t: 
0,2
8 cos
8

cos

sin

cos

sin

2,0

; 

sin
8

sin
cos
3

0 
sin

4cos
4

cos
1
 
3

 

Cálculo II 
Departamento de Matemáticas 

sin

sin

sin

1

sin

cos

cos

sin

sin

cos
3

cos

1

1
3

2
 
3
1

cos

cos 22

1
2

cos 2

1
sin 2
2

1
2

1
2

0

2

4

 

(a.2)   Considerando  la  ecuación  reducida  de  la  circunferencia  y,  por  ejemplo,  la 
variable x como parámetro: 
2

4

4
2

4

 

√4

√4
2

√4

3

4

 
Para resolver la integral 
2cos

 hacemos el cambio de variable siguiente: 

√

2 sin

.  
acos :  

Determinación de los límites de integración para la variable 
0

acos 0
4 cos

√44 1

cos

2

;

2

2sin

(b) La ecuación de la recta que une los puntos 
2
0
2
0 2 2 0
Por lo tanto: 

acos 1
4

0 

cos

0,2  y 
2

4

 

4

2,0  es: 
 

Cálculo II 
Departamento de Matemáticas 

2
3

4

2

3

4

 

Observaciones: 
3) De acuerdo con los resultados obtenidos, la circulación de un campo vectorial 
no conservativo depende del camino a través del cual circula. 
4) Los resultados  de  la  integral  se  expresan  en  unidades  de  energía. 
Consecuentemente, en este caso, el proceso se realiza con desprendimiento de 
energía. 
 
EJERCICIO Nº 3: 
Calcular la integral curvilínea: 
3

2

3 cos

 

a lo largo del paralelogramo de vértices O(0,0), A(2,0), B(3,1), C(1,1): 
a) Directamente  
b) Aplicando la fórmula de Green o de Riemann  
SOLUCIÓN: ...