pracitca 2 propagacion de errores

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS FÍSICAS
LABORATORIO DE FÍSICA A

CÁLCULO DE INCERTIDUMBRE EN LAS MEDICIONES INDIRECTAS
OBJETIVO
Usar la herramienta de propagación de errores por el método de cálculo diferencial para reportar correctamente
resultados de mediciones indirectas, a partir del procesamiento de datos obtenidos a través de mediciones
directas.

INTRODUCCIÓN
En el capítulo de medición se analizólo que es la incertidumbre absoluta y la incertidumbre relativa, de este
criterio se puede observar que toda medición caerá dentro de un respectivo intervalo de confianza el cual
brindará la certeza de contener el valor real.
Sin embargo este intervalo de confianza en una medición directa es relativamente sencillo de calcular o
estimar. Un problema más complejo es cómo proceder cuando se tieneque reportar o expresar correctamente
un resultado, partiendo de varias mediciones directas (datos), resulta que se puede inferir, que si las
mediciones directas tienen sus incertidumbres, los resultados obtenidos del procesamiento de datos como
suma, resta, multiplicación, etc (mediciones indirectas) también lo tendrán, como consecuencia de la
propagación de las incertidumbres de las medicionesdirectas.
En este capítulo se analizará el problema de cómo expresar correctamente los resultados partiendo de varias
mediciones directas (datos); para esto se considerará el primer caso:

Incertidumbre en resultados obtenidos de una función de una sola variable:
Considere una magnitud X, al realizar varias mediciones de esta misma magnitud, se observa que los valores
difieren entre ellos (aunqueentre ellos exista una mínima diferencia, por lo tanto, el resultado se debe
expresar incluyendo un intervalo de confianza, considerando la misma forma de expresar una medición
directa (𝑋 + 𝛿𝑋).
Supongamos que Z es una magnitud que depende de X esto se escribe así Z= f (X); como Z depende de X es
fácil ver que si existe una incertidumbre 𝛿𝑋, entonces Z tendrá una incertidumbre 𝛿𝑍 como consecuenciade
la propagación de la incertidumbre de X.
¿Cuánto vale 𝛿𝑍 ?
En la figura 1, se puede apreciar que:
𝑍𝑜 = 𝑓 (𝑋𝑜); 𝑍𝑖 = 𝑓 (𝑋𝑜 – 𝛿𝑋)
𝑍𝑓 = 𝑓 (𝑋𝑜 + 𝛿𝑋), 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝛿𝑍 = (𝑍𝑓 – 𝑍𝑖) (𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎 𝛿𝑍)

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Ejemplo: Se requiere reportar el área Z de un cuadrado de lado X; entonces: Z = 𝑋 2 , pero si X tiene su
incertidumbre 𝛿𝑋, entonces Z tiene unaincertidumbre 𝛿𝑍, por lo tanto;
𝑍 = 𝑋2
𝑍𝑜 ± 𝛿𝑍 = (𝑋𝑜 ± 𝛿𝑋)2
𝑍𝑜 ± 𝛿𝑍 = 𝑋𝑜 2 ± 2𝑋𝑜 𝛿𝑋 + 𝛿𝑋 2
Como las incertidumbres de las mediciones directas son pequeñas en comparación con las magnitudes
medidas, entonces sus cuadrados y más altas potencias se pueden despreciar, por lo que 𝛿𝑋 2 se puede
despreciar, obteniéndose:
𝑍𝑜 ± 𝛿𝑍 = 𝑋𝑜 2 ± 2𝑋𝑜 𝛿𝑋 ;
De aquí: 𝑍𝑜 = 𝑋𝑜

y 𝛿𝑍 = 2𝑋𝑜 𝛿𝑋

Donde 𝛿𝑍 es laincertidumbre absoluta de Z.
Ahora, si se quisiera expresar la incertidumbre relativa, (definida en el capítulo anterior como la incertidumbre
absoluta con respecto a la magnitud medida):
𝛿𝑍 2𝑋0 𝛿𝑋
=
(𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛)
𝑍0
𝑋𝑜 2
𝛿𝑍
2𝛿𝑋
=
𝑍0
𝑋𝑜
Con el uso del cálculo diferencial se logra una simplificación en la obtención de las incertidumbres 𝛿𝑍
calculada.

Método general para el cálculo de laincertidumbre en resultados obtenidos de
una función de una sola variable
Si Z = f (X), entonces la derivada de Z con respecto a X es:
𝑑𝑧
𝑑(𝑓(𝑥))
=
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Cuando las diferencias son muy pequeñas (tienden a cero), entonces se puede considerar lo siguiente:
𝑑𝑧
𝛿𝑧
≈
𝑑𝑥
𝛿𝑥
Es decir, si se quiere encontrar la incertidumbre absoluta 𝛿𝑍, se tiene que derivar la función a utilizar para
encontrar el resultadodeseado con respecto a la variable (magnitud, dato) medida directamente, y a ese
resultado multiplicar por la incertidumbre de la magnitud medida directamente.
Por ejemplo, para el caso anterior del área Z = X2 de un cuadrado:
𝑑𝑍
= 2𝑋
𝑑𝑋
Pasamos el término dX a multiplicar al otro lado
𝑑𝑍 = 2𝑋𝑑𝑋

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Entonces:
𝛿𝑍 = 2𝑋𝛿𝑋 , que fue el resultado...