Practica 1

5.- CONCEPTOS BASICOS
5.1 PRODUCTO CARTESIANO
Si tenemos dos conjuntos A y B, y tratamos de armar todos los pares posibles  formados por un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto B, obtendremos  el producto cartesiano de los dos conjuntos. Se escribe: 

Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y segunda componente en B,se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de A y B. Simbólicamente:
A x B = {(x, y) / x  A  y  B}.


En consecuencia:
(x, y)  A x B  x  A  y  B

(x, y)  A x B  x  A  y  B


En particular, siendo R el conjunto de los números reales, se tiene:
R x R = {(x, y) / x R  y  R }.
R x R es el conjunto de todas las parejas de números reales. La representacióngeométrica de R x R es el plano cartesiano llamado también plano numérico.

Se establece una relación unívoca entre Rx Ry el conjunto de los puntos del plano geométrico, asociándose de esta forma el par ordenado (x, y) con el punto P(x,y).
Ejemplo1:
Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será:
A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.
Ejemplo 2. Sea A = {1, 2,3, 4} y B = {a, b, c}. Entonces A x B consta de 12 elementos, los cuales se pueden representar por medio de una tabla organizada en la siguiente forma:



5.1.2 Relación binaria     
En matemáticas, a relación binaria es una asociación arbitraria de elementos dentro del sistema o con los elementos de otro sistema.
Las relaciones binarias se utilizan en muchos ramas de las matemáticas paramodelar conceptos como “es mayor que", "es igual a.
Definición formal
Una relación binaria R se define generalmente como triple pedido (X, Y, G) donde X y Y son los sistemas arbitrarios (o las clases), y G es a subconjunto de Producto cartesiano X × Y. Los sistemas X y Y se llaman dominio y contra dominio, respectivamente, de la relación, y G es su gráfico.
La declaración (x,y) ∈ R se lee “xes R- relacionado con y“, y se denota xRy o R(x,y).
Ejemplo: Suponga que hay cuatro objetos: {bola, coche, muñeca, balero} y tres personas: {Juan, María, Venus}. Suponga que Juan posee la bola, María posee la muñeca, y Venus posee el coche. Nadie posee el balero así que no posee nada. Entonces se da la relación binaria “se posee por” como
R= ({bola, coche, muñeca, balero}, {Juan, María,Venus}, {(bola, Juan), (muñeca, María), (coche, Venus)}).
Así el primer elemento de R es el sistema de objetos, el segundo es el sistema de ente, y el elemento pasado es un sistema de los pares pedidos de la forma (objeto, dueño).
El par (bola, Juan), denotado cerca bolaRJuan significa que la bola es poseída por Juan. Sin embargo, R se identifica como (x, y) ∈ R.
Ejemplo: Una relación puedepensarse como una tabla que enumera la relación de algunos elementos con otros. A={Blas, María, Andrea, Juan} B={Ciencias de la computación, Matemáticas, Arte, Historia,}
Estudiante
Curso
Blas
Ciencias de la computación
María
Matemáticas
Blas
Arte
Andrea
Historia
Andrea
Ciencias de la computación
Juan
Matemáticas
Los elementos de una relación son: El dominio de una relación R es elconjunto de todos los primeros elementos de las parejas ordenadas que pertenecen a R. El recorrido de R es el conjunto de todos los segundos elementos.
Ejemplo: Sea A = {1,2,3} y R= { 1,2 } { 1,3 } { 2,3 } . Entonces R es una relacion de A ya que es un subconjunto de AxA
AxA =(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3) A={1,2,3} A={1,2,3}
1R2 1R3 2R3
Dominio: {1,2 }
Recorrido:{2,3 }


5.1 3 Representación de relaciones (matrices, conjuntos, grafos, diagrama de flechas)
 Podemos representarlo de diferentes  formas: diagramas de flechas, diagramas  arbolados, tablas y gráficos cartesianos.  Cada par que formemos con un elemento  de A y uno de B, en ese orden, recibe el  nombre de par ordenado.



Ejemplo: Sea R la sig. Relación de A= {1, 2,3} en B= {a, b}...