Practica Abril 09

Guía de Trabajos Prácticos
Análisis Matemático II
Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari
Abril 2009
2
y

1

1

0.5

0

0

-1

-0.5

-2
2

-1
1

1
z

0.5

0

0

-1

-0.5

-2

-1
-1

-2
-1

-0.5

0
x

0

1

0.5

2

1

2

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari
Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

Análisis Matemático II
1º Cátedra
Prof. Titular Dra. Luisa L. Lazzari
Guía de TrabajosPrácticos

Editoras y compiladoras
Andrea Parma
Erica Guzmán Yañez

Colaboraron
Pablo Caviezel
María José Fernandez
Alejandro García Venturini
Erica Guzmán Yañez
Carlos Hernández
Luisa Lazzari
Silvia Liaudat
Stella Maris Navarro
Mónica Novo
Andrea Parma
Ana Marsanasco

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Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

3

TRABAJO PRÁCTICO Nº 1
1)Representar los siguientes puntos en el espacio euclídeo correspondiente:
a) (1,2), (-1,3), (-4,-2), (0,-3)
b) (1,2,3), (2,1,3), (3,2,1), (–1,3,-5), (0,0,4), (1,0,3)
2) Hallar la distancia entre los siguientes puntos:
a) (2,1) y (3,-2)

b) (3,5) y (0,5)

c) (-1,-3) y (-4,2)

d) (5,4,-3) y (2,-6,4)

e) (-2,6,1) y (5,4,-3)

f) (3,-4,1) y (5,-3,0)

3) Describir y representar las siguientes regiones de ℜ 2a)

{(x, y )∈ ℜ

2

/ x=0

}

b)

{(x, y )∈ ℜ

2

/ x≥0

c)

{(x, y )∈ ℜ

2

/ y=2

e)

{(x, y )∈ ℜ

2

/ x = 2y

}

d)

{(x, y )∈ ℜ

2

/ x≥0∧ y<2

f)

{(x, y )∈ ℜ

2

/ 2x + 3y ≤ 4

g)

{(x , y )∈ ℜ

2

/− 2< x ≤ 2

h)

{(x, y )∈ ℜ

i)

{(x, y )∈ ℜ

}

}

/ x2 + 2 ≥ y

2

}

}

/ x2 + y2 ≤ 2
2

2

j)

2

2

}

{(x, y )∈ ℜ / (x − 1) + ( y + 2) ≤ 2 ∧ x < 1}
l) {(x , y )∈ ℜ / x + y > 5 ∧ x + 2 y <3}
n) {( x , y ) ∈ ℜ / (x − 2) + 4 y ≤ 36}
o) {(x , y ) ∈ ℜ / 4 y − x ≥ 4 ∧ y < 3}

}

{(x, y )∈ ℜ / y + 3 > (x − 1) ∧ x ≥ y}
m) {(x , y )∈ ℜ / 4 x ≤ 2 y + 1 ∧ x < 1}

k)

2

}

2

2

2

2

2

2

ñ)

{(x , y )∈ ℜ

2

/ xy ≤ 1 ∧ xy ≥ 0

}

p)

{(x, y )∈ ℜ

2

/ x2 − y2 ≥1 ∧ x2 + y2 ≤ 4

2

}

q)

{(x, y )∈ ℜ

2

2

2

2

2

}

/ 4 x 2 + 9 y 2 ≤ 36 ∧ x − y 2 ≥ 1

4) a) Escribir la ecuación del planoque pasa por el punto P dado y tiene el vector
r
normal n indicado:
r
r
n = (7, 1, 4)
n = (3, -5, 2)
i) P= (1, 4, 5)
ii) P= (-5, 1, 2)
b) Determinar si los siguientes planos son paralelos:
i) x + z = 1

∧

y + z =1

iii)

x + 4 y − 3z = 1

ii) −8 x − 6 y + 2 z = 1

∧

z = 4x + 3y

iv)

∧

− 3x + 6 y + 7 z = 0

2x + 4 y − 2z = 1

∧

x + 2y + z = 7

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5) Escribir las ecuaciones de la recta que pasa por el punto dado y es paralela al vector

indicado
a) A = (1, 4, 5)
b) B = (-5, 1, 2)
c) C = (1, 2, 3)

v = (7, 1, 4)
v = (3, -5, 2)
v = (6, 9, 12)

6) Escribir las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P= (1, 0, -3) y es
perpendicular al plano de ecuación x + 4 y − 3 z = 1

7) Representar ydescribir las siguientes regiones de R3
a)

{(x, y , z )∈ ℜ

3

/ x=2

}

b)

{(x, y , z )∈ ℜ

3

/ y≥3

c)

{(x, y , z )∈ ℜ

3

/ z=4

e)

{(x, y , z )∈ ℜ

3

/ 4 x + 6 y + 9 z = 36

}

d)

{(x , y , z )∈ ℜ

3

/ 2x = z

f)

{(x, y , z )∈ ℜ

3

/ x2 + y2 = 2

g)

{(x, y , z )∈ ℜ

h)

{(x, y , z )∈ ℜ

i)

{(x, y , z )∈ ℜ

}

}

/ y2 + z2 = 4

3

}

/ x2 − y2 =1

3

{(x, y , z )∈ ℜ

o)

3

/ − x2 +y2 =1 + z2

{(x, y , z )∈ ℜ

/ x + y − z =0

r)

{(x, y , z )∈ ℜ

3

/ x2 − y2 = z

2

2

}

⎧
⎩

1 2⎫
z ⎬
9 ⎭

l) ⎨( x, y, z ) ∈ ℜ 3 /

1 2
⎫
y = z⎬
4
⎭

{(x, y , z )∈ ℜ

}

3

/ z ≥2

}

q)

3

2

⎧
⎩

p) ⎨( x, y, z ) ∈ ℜ 3 / −

/ x + y − z =1
2

}

/ x2 + y2 + z2 =1

}

{(x, y , z )∈ ℜ

2

}

n)

3

2

}

j) ⎨( x, y, z ) ∈ ℜ 3 / y = x 2 +

1
⎧
⎫
k) ⎨( x , y , z ) ∈ ℜ 3 / x 2 + y 2 + z 2 = 1⎬
9⎩
⎭

m)

3

}

⎧
⎩

1 2
⎫
x − y 2 + z = 0⎬
2
⎭

}

8) a) Graficar los siguientes conjuntos de puntos:
b) En cada caso analizar si el conjunto es cerrado, abierto y/o acotado
c) Determinar cuáles son los puntos interiores, frontera, exteriores y de acumulación

{
B = {(x , y )∈ ℜ
C = {( x , y ) ∈ ℜ

}

A = (x , y )∈ ℜ 2 / xy = 1

}
≥ 4}

2

/ 1< x2 + y2 < 4

2

/ y + (x − 1)2

⎧
⎫
y2
E = ⎨(x , y...