Practica Analisis Matematico

Universidad Católica Argentina
Facultad de Cs. Físicomatemáticas e Ingeniería

Trabajos Prácticos de

Cálculo Avanzado
Segundo Cuatrimestre de 2011

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´ Calculo Avanzado
Segundo Cuatrimestre de 2011 ´ Practica 0

1. Sean u , v vectores de R2 tales que3u − 4v = (2, −1) y u + 3v = (1, 1) . Hallar u y v . 2. Sean u , v vectores de R3 tales que 2u − 3v = (1, 2, −1) y 2u + v = (1, 1, 1) . Hallar u y v . 3. Demuestre que el tri´ngulo con v´rtices P (−2, 4, 0) , Q(1, 2, −1) y R(−1, 1, 2) es un tri´ngulo a e a equil´tero. a 4. ¿Cu´l de las siguientes expresiones tiene sentido? ¿Cu´les son las que no tienen sentido? Explique. a a a) (a · b) · c b) (a ·b)c c) |a|(b · c) d) a · (b + c) e) a · b + c f) |a| · (b + c) 5. Calcular a · b en los siguientes casos. a) a = (3, 1, −2) , b = (1, −1, 1) . b) a = i − 2j + 3k , b = 5i + 9k . c) a = 4j − 3k , b = 2i + 4j + 6k . 6. Encuentre el ´ngulo entre los vectores. (Primero encuentre una expresi´n exacta y luego aproxime al a o grado m´s cercano). a a) a = (3, 1) , b = (2, 4) b) a = 2i − j + k , b = 3i +2j − k 7. ¿Para qu´ valores de b son ortogonales los vectores (−6, b, 2) y (b, b2 , b) ? e 8. Encuentre la proyecci´n escalar y el vector de proyecci´n de b sobre a o o a) a = (2, 3) , b = (4, 1) b) a = i + k , b = i − j 9. Encuentre el producto vectorial a × b a) a = (1, −1, 0) , b = (3, 2, 1) b) a = 2i + j − k , b = j + 2k c) a = 3i + 2j + 4k , b = i − 2j − 3k 10. Encuentre un vector ortogonalal plano que pasa por los puntos P (2, 0, −3) , Q(3, 1, 0) y R(5, 2, 2) y encuentre el ´rea del tri´ngulo P QR . a a

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11. Encuentre el volumen del paralelep´ ıpedo con aristas adyacentes P Q , P R y P S , siendo P (1, 1, 1) , Q(2, 0, 3) , R(4, 1, 7) , S(3, −1, −2)

12. Suponga que a = 0 . a) Si a · b = 0, ¿resulta que a o b = 0 ? b) Si a · b = a · c , ¿resulta que b = c ? c) Si a × b = 0 , ¿resulta que a o b = 0 ? d) Si a × b = a × c , ¿resulta que b = c ? e) Si a · b = a · c y a × b = a × c , ¿resulta b = c ? 13. Hallar una ecuaci´n cartesiana de la recta L : X = t(1, 2) + (1, −1) . o 14. Hallar una ecuaci´n cartesiana de la recta L : X = t(−1, 1, 2) + (−1, 0, 1) . o ¿Cu´ntas ecuaciones en x , yse necesitan para definir una recta en R2 ? ¿C´antas ecuaciones en x , a u 3? y , z se necesitan para definir una recta en R 15. Encuentre una ecuaci´n vectorial y ecuaciones cartesianas para la recta que pasa por el punto (1, 0, −3) o y es paralela al vector 2i − 4j + 5k . 16. Encuentre ecuaciones param´tricas y ecuaciones cartesianas para la recta que pasa por los puntos e (−1, 0, 5) y (4, −3, 3). 17. Demuestre que la recta que pasa por los puntos (2, −1, −5) y (8, 8, 7) es paralela a la recta que pasa por los puntos (4, 2, −6) y (8, 8, 2) . 18. a) Encuentre ecuaciones param´tricas para la recta que pasa por (5, 1, 0) y es perpendicular al plano e 2x − y + z = 1 . b) ¿En qu´ puntos corta la recta a los planos de las coordenadas? e 19. Encuentre la ecuaci´n del plano que o a) pasa por elpunto (−2, 8, 10) y es perpendicular a la recta x = 1 + t , y = 2t y z = 4 − 3t . b) que contiene a la recta x = 3 + 2t , y = t , z = 8 − t y es paralelo al plano 2x + 4y + 8z = 17 . c) pasa por el punto (1, −1, 1) y contiene a la recta con ecuaciones x = 2y = 3z .

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Segundo Cuatrimestre de 2011 ´ Practica 1

1. Escriba desigualdades para describir la caja rectangular s´lida que se encuentra en el primer octante o acotado por los planos x = 1 , y = 2 y z = 3 . 2. Describa y trace la superficie en R3 representada por la ecuaci´n o 3. x+y = 2.

a) ¿Qu´ representa la ecuaci´n x = 4 en R2 ? ¿Qu´...