PRACTICA ANILLOS Y GRUPOS

PRACTICA ANILLOS Y GRUPOS
1. Sea el conjunto G formado por tres elementos 1,a,b.
a) Completar la tabla para hacer de G un grupo (G,*)
b) Arme la tabla para Z3 bajo la operación de la suma (Z,+)
c)Explique las propiedades de grupo que ambas tablas deben cumplir.
d) ¿Cuál es el orden de los elementos de G y Z3?
*
1
a
b

1
1

a
a

b
b

2. Sea G = (Z21,.) un subgrupo multiplicativo formado por loselementos invertibles de
Z21. (Z21 = {a Є Z21 | a es una unidad en Z21} = {a Є Z21 | a-1 existe}).
a. Es G un grupo abeliano? Justifique su respuesta
b. Calcular |G| (el orden de G) y escribir loselementos de G.
c. Calcular los inversos de todos los elementos de G.
3. Sea G = (Z20,.) un grupo multiplicativo formado por los elementos invertibles de Z20.
(Z20 = {a Є Z20 | a es una unidad en Z20} ={a Є Z20 | a-1 existe}).
a. Es G un grupo abeliano? Justifique su respuesta
b. Calcular |G| (el orden de G) y escribir los elementos de G.
4. Muestre que el sub-conjunto {0,3,6,9} de Z12 en laoperación de adición es un grupo
5. En el conjunto G={e,a,b,c,d,f} se define una operación interna * mediante latabla

¿(G,*) es un grupo abeliano?, que propiedades se cumplen o cuáles no?
6. Para el siguienteproblema, considerar el sistema de números Z6
a. ¿Cuál de las propiedades de anillo este sistema no satisface?
b. Es Z6 un anillo? … un anillo conmutativo? … un cuerpo? ¿Porqué o porqué no?
c.Encuentra el inverso de 5 en Z6.
7. Las siguientes tablas hacen de (R,+,.) un anillo, donde R={s,t,x,y}.

+

a)
b)
c)
d)
e)

s

t

x

y

.

S

t

x

y

s

y

x

s

t

S

y

y

x

x

t

x

y

t

s

T

y

yx

x

x

s

t

x

y

X

x

x

x

x

y

t

s

y

x

Y

x

x

x

x

¿Cuál es el elemento identidad para la suma?
¿Cuál es el inverso aditivo de cada elemento?
¿Es R un anillo conmutativo?
¿Tiene R unelemento unidad?, ¿Cuáles son las unidades?
¿Es este anillo un dominio de integridad, cuáles son? ¿Es un cuerpo?

8. Para las siguientes tablas, responda las preguntas para definir si es un anillo...