practica coordenadas polares

Presentacion

Nombres
María Altagracia Castillo P.,Juan Mercedes Ulloa
Matriculas
100078992, 100214474
Sección
01
Materia
Calculo II (Mat-354)
Profesor
Gil Sandro Gomez

Practica De Coordenadas Polares
1. Transforme los puntos de Coordenadas Cartesianas a Polares.
√
√
√
1) (−2 3, 2)
3) (− 2, − 2)
2) (0, 2)
4)(3, −4)
2. Dada las ecuaciones en Coordenadas Cartesianasexpresalas en Coordenadas Polares.
5) x2 − y2 = 4
7) x2 + y2 + xy = 2
6) 2x2 + 2y2 + 2x − 6y = 3
8) (x2 + y2 )2 = 2(x2 − y2 )
3. Discuta y grafique las siguientes curvas:
9) r = 2 + sen 2θ
12) r = 3 + 2 cos θ
√
13) r = 4 − 4 cos θ
10) r = 4 cos 2θ
11) r = 3 − 4 sen θ
14) r = 4 + 2 sen θ
4. Determine los puntos de intersección entre :
√
15) r = 3 3 cos θ , r = 3 senθ
16) r = 3 + 3 cos θ , r= 3 − 3 cos θ
17) r = 6, r = 4 + 4 cos θ
5. Para cada función calcule

dy
dx

y las tangentes horizontales y verticales si las hay.

18) r = 3(1 − cos θ )

19) r = 3 − 2 cos θ

6. Calcule el area encerrada por las curvas siguientes:
20) r = 2 + 2 sen θ
22) r = 4 + 3cos θ

√
21) r = 3 sen 2θ
23) r = 2 + sen θ

7. Encuentre el area de la región.
24) Dentro de r = 3 + 2cos θ yfuera de r =√
2.
√
25) Dentro de r = cos 2θ y fuera de r = sen 2θ
26) Interior común a r = 2(1 + cos θ ) y r = 2sen θ

Tema I√
1) (−2 3, 2)

√
(−2 3)2 + (2)2

r=

r=4
x
r
√
2 3
θ = arcCos
4
o
θ = 150
θ = arcCos

Punto = (4, 150o )
2) (0, 2)
(0)2 + (2)2

r=

r=2
θ = arcSen

2
2

θ = 90o
Punto = (2, 90o )
√
√
3) (− 2, − 2)

r=

√
√
(− 2)2 + (− 2)2
r=√
2+2

r=2
√
− 2
θ= √
− 2
θ = 45
Punto = (2, 45o )

4) (3, −4)

r=

(3)2 + (−4)2
r=5
−4
3
θ = −53,13

θ = arcTan =

θ = 306,87
Punto = (5, 306,87o )

Tema II
5) x2 − y2 = 4

r2 cos2 θ − r2 sen2 θ = 4
r2 (cos2 θ − sen2 θ ) = 4
r=

4
cos 2θ

6) 2x2 + 2y2 + 2x − 6y = 3
2(r2 cos2 θ ) + 2(r2 sen2 θ ) + 2(rcosθ ) − 6(rsenθ ) = 3
2[r2 (1 − sen2 θ )] + 2r2 sen2 θ +2rcosθ − 6rsenθ = 3
2[r2 − r2 sen2 θ ] + 2r2 sen2 θ + 2rcosθ − 6rsenθ = 3
2r2 − 2r2 sen2 θ + 2r2 sen2 θ + 2rcosθ − 6rsenθ = 3
2r2 + 2rcosθ − 6r senθ = 3
2r2 + r(2cos θ − 6sen θ ) = 3
(multiplico por r en ambos lados)
2r2 = r(2cos θ 3
−6sen θ )
2r3 =
r=

3

3
2cos θ −6sen θ
3
4cos θ −12sen θ

7) x2 + y2 + xy = 2

r2 cos2 θ + r2 sen2 θ + (rcos θ )(rsen θ ) = 2
r2 (cos2 θ +sen2 θ ) + r2 sen θ cos θ = 2
r2 (1 + sen θ cos θ ) = 2
r=

2
(1+sen θ cos θ )

8) (x2 + y2 )2 = 2(x2 − y2 )

(r2 cos2 θ + r2 sen2 θ )2 = 2(r2 cos2 θ − r2 sen2 θ )
[r2 (cos2 θ + sen2 θ )]2 = 2[r2 (cos2 θ − sen2 θ )]
r4 = 2r2 cos2θ
r4
2r2

= cos 2θ

1
2r2

= cos 2θ

1
r2

= 2cos 2θ

r=

Tema III
9) r = 2 + sen 2θ

1
2cos 2θ

(Divido en ambos lados entre 2r2 )

1.Intersecciones:
a)Con el eje polar:
θ = 0o
f (0o ) = 2 + sen 2(0)
f (0o ) = 2

θ = 180o
f (180o ) = 2 + sen 2(180)
f (180o ) = 2

θ = 360o
f (360o ) = 2 + sen 2(360)
f (360o ) = 2
Las intersecciónes con el eje polar son: (2,0o ),(2,180o ),(2,360o ).
b)Con el eje normal:
θ = 90o
f (90o ) = 2 + sen 2(90)
f (90o ) = 2
θ = 270o
f (270o ) = 2 + sen 2(90)
f (270o ) = 2
Lasintersecciónes con el eje normal son:(2,90o ) y (2,270o ).

2. Simetrias.
a)Con el eje polar:
f (−θ ) = 2 + sen2(−θ ) = 2 − sen 2θ
f (−θ )

f (θ ),no hay simetría con el eje polar.

b)Con el eje normal:
f (180 − θ ) = 2 + sen2(180 − θ ) = 2 − sen(360 − θ )
f (180 − θ ) = 2 + (sen360cos 2θ − cos360 sen 2θ )
f (180 − θ ) = 2 − sen2 θ
f (180 − θ )

f (θ ), no hay simetría con el eje normal.c)Con el polo
Como no hay simetria con el eje polar y el eje normal, entonces se concluye que existe simetria con el
lo.
3. Tabla
θ
r

0o
2

30o
2.87

60o
2.87

90o
2

120o
1.13

150o
1.13

180o
2

210o
2.87

240o
2.87

270o
2

300o
1.13

330o
1.13

360o
2

4. Conversión de la ecuación a coordenadas polares.

r = 2 + sen 2θ
x2 + y2 = 2 + 2Sen θ...