Practica de evaristo mamani carlo

E SCUELA I NDUSTRIAL S UPERIOR ”P EDRO D OMINGO M URILLO ” 1, 1–3, 2011
´ D EPARTAMENTO DE C IENCIAS B ASICAS

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
´ PRACTICA 3
L IC. E VARISTO M AMANI C ARLO†
Universidad Mayor de San Andr´ s e Facultad de Ciencias Puras y Naturales - Carrera de F´sica ı

L A PAZ , 02

DE

J UNIO

DEL

2011

RESUMEN Se presenta una serie de ejercicios de rectas yplanos en el espacio a fin de aplicar los conocimeintos te´ ricos aprendidos en clases de Algebra Lineal de nivel avanzado. o
Keywords:

1. Hallar la ecuaci´ n de la recta que pasa por el o punto M (−4, −5, 3) y se corta con las dos rectas: x+1 y+3 z−2 x−2 y+1 L1 : = = , L2 : = = 3 −2 −1 2 3 z−1 −5
Resp. L : y+1 z−3 x+4 = = 3 5 −1

5. Por los puntos A(-6,6,-5) y B(12,-6,1) se ha trazado una recta.Hallar los puntos de intersecci´ n de esta recta con los planos coordenados. o
Resp. (9,-4,0), (3,0,-2), (0,2,-3)

6. Hallar la ecuaci´ n vectorial de una recta que o pasa por el punto A(2,1,-1) y corta a las rectas L1 = {(1, 1, 1) + t(2, 4, 5)/t ∈ R} y L2 eje x.
Resp. L = {(2, 1, −1) + t(13, 8, −8)/t ∈ R}

2. Hallar la ecuaci´ n de la recta que pasa por el o punto A(2, 0, 1) y queintercepta a la recta L1 = ´ {(1, 2, 3) + t(2, 2, 3)/t ∈ R} en angulo recto.
Resp. L = {(2, 0, 1) + λ(−33, 18, 10)/λ ∈ R}

3. Hallar la ecuaci´ n de la recta que pasa por el o punto M (1, 0, 2) que es ortogonal a la recta L1 = {(1+2t, 5t, 1+t)/t ∈ R} y que se corta con la recta x−2 2−y z L2 : = = 5 2 −3
Resp. L = {(1, 0, 2) + λ(53, −14, −36)/λ ∈ R}

7. Hallar la ecuaci´ n de la recta L que pasa porel o punto M(1,0,2), que es ortogonal a la recta L1 = {(1+2t, 5t, 1+t)/t ∈ R} y que se corta con la recta 2−y z x−2 = = . L2 : 5 2 −3
Resp. L = {(1, 0, 2) + t(53, −14, −36)/t ∈ R}

8. Una recta que pasa por el punto A(1,2,3), ha´ ciendo un angulo de 300 con el eje x y 600 con el eje y. Hallar su ecuaci´ n. o
√ Resp. L = {(1, 2, 3) + t(± 3, 1, 0)/t ∈ R}

4. Dadas la recta L1 que pasa por lospuntos A(2, 1, 2) y B(5, 4, 5) y L2 que pasa por los puntos C(7, 4, 3) y D(10, 8, 5) ´ (a) ¿Cual es la menor distancia entre ambas rectas? (b) Calcular un vector ortogonal a ambas rectas cuya longitud sea igual a la distancia menor.
Resp. (a) d =
† Email:

9. Dadas las rectas L1 = {(2 + t, 6 + 2t, 1)/t ∈ R} y L2 = {(1, 6 + r, 1)/r ∈ R}. Hallar la recta L que ´ intercepta a L1 y L2 determinandoun triangulo ´ de una unidad cuadrada de area, si L pasa por el punto M(3,2,1).
Resp. L = {(3, 2, 1) + t(−2, 5, 0)/t ∈ R}

√

6, (b) a = (−2, 1, 1)

evaristomamani@gmail.com

10. Hallar la ecuaci´ n de una recta perpendicuo lar al plano XZ, que una las rectas L1 = {(1, −1, 1) + t(2, −1, 4)/t ∈ R}, L2 = {(1, 2, −3) + λ(−1, 4, 2)/λ ∈ R}.

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Lic. Evaristo Mamani Carlo
Resp. L = {(0,6, −1) + t(0, 1, 0)/t ∈ R} Resp. P : 2y − z = 0

11. Encontrar la ecuaci´ n de la recta que pasa por o el origen, es perpendicular a la recta x = y − 5, z = 2y − 3 y que intercepta a la recta y = 2x + 1, z = x + 2.
Resp. L : x y z = = −1 −1 1

20. Hallar la ecuaci´ n del plano determinado por la o x y−6 z+3 = y el punto P(4,-3,2). recta L : = 1 2 −1
Resp. π : x − 9y − 17z + 3 = 0

12. Seanlas rectas L1 : x−y+z−5 = 0 ∧ x−3y+6 = 0; L2 : 2y+z−5 = 0 ∧ 4x−2y+5z−7 = 0. Demostrar que L1 L2 . 13. Hallar la distancia del punto P(6,-3,3) a la recta L : 2x + 2y + z = 0 ∧ 4x − y − 3z − 5 = 0.
Resp. d(p,L)=3

21. Encontrar la ecuaci´ n del plano que pasa por los o puntos A(-2,5,3) y B(4,8,-8) y es perpendicular al plano XZ.
Resp. P : 11x + 6z + 4 = 0

22. Halle la ecuaci´ n del plano quecontenga a la o recta x − 3 = −(y + 5) = −(z + 2) y el punto (5,0,-4).
Resp. P : x + z = 1

14. Demostrar que la condici´ n segun la cual las o x − a1 y − b1 z − c1 dos rectas L1 : = = y m1 m2 m3 x − a2 y − b2 z − c2 ´ L2 : = = estan situadas n1 n2 n3 en un plano, se puede expresar de la forma: a2 − a1 b2 − b1 c2 − c1 m1 m2 m3 = 0 n1 n2 n3 15. Halle el punto de intersecci´ n de la recta: L :...