practica de finu
Páginas: 26 (6269 palabras)
Publicado: 20 de septiembre de 2014
Una empresa desarrolladora iniciará un proyecto
urbano en un terreno de 4 hectáreas. En él se
construirán dos tipos distintos de casas: las viviendas
tipo I que ocupan una superficie de 270 m2 y tendrán
un costo de $800,000, y las viviendas tipo II que
ocupan 200 m2 y con un costo de $500,000. Los
estudios de mercado indican que la demanda máxima
de viviendas de tipo I es de 100 unidades,mientras
que para las de tipo II corresponde a 120 unidades, y
además la demanda máxima combinada es de 170
unidades. Se desea determinar la combinación óptima
de viviendas para lograr un ingreso máximo.
Ver forma
estándar
El primer paso consiste en determinar las variables de
decisión. Este paso es de vital importancia pues una
elección inadecuada de las variables hará imposible laresolución del problema. Por lo general, estas variables
representan los bienes que consumirá o producirá la
empresa. En nuestro problema, los ingresos que tenga
la empresa dependerán del tipo de casas que
construya. Por esto las variables de decisión son:
x1: número de viviendas tipo I por construir
x2: número de viviendas tipo II por construir
Planteamiento del modelo
Una funciónobjetivo a maximizar
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
sujeta a las restricciones
gj(x1, x2, …, xn) = aj1 + aj2 + … + ajn ≤ bj , j = 1, 2, …, m
Que también puede expresarse en forma matricial:
max z = cT x
sa
Ax≤b
Donde x es el vector de variables de decisión, c el
vector de coeficientes del objetivo, A es la matriz de
coeficientes tecnológicos y b el vector de constantes.
Cada viviendatipo I ocupa 270 m2, las de tipo II ocupan
200 m2 y en conjunto no deben exceder las 4 ha.
270 x1 + 200 x2 ≤ 40,000
Leer
cuestionamiento
Demanda de viviendas tipo I.
Ver forma
canónica
x1 ≤ 100
Demanda de viviendas tipo II.
x2 ≤ 120
Demanda combinada.
x1 + x2 ≤ 170
Finalmente planteamos la función objetivo, en este caso
es maximizar el ingreso, en miles de pesos.
max z = 800 x1 + 500x2
Ver primera
iteración
Ver segunda
iteración
Vértice
x1
x2
z
(millones de
pesos)
0
0
0
0
1
100
0
80
2
100
65
112.5
3
85.7
84.3
110.7
4
50
120
100
5
0
120
60
La función objetivo alcanza su valor máximo en un
vértice del conjunto de soluciones factibles. A las
soluciones de estos puntos se lesconoce como
soluciones básicas. Y a la solución que maximiza z se
le llama solución óptima.
soluciones
factibles
z
z
Infactible
Óptimos alternativos
soluciones
factibles
z
Problema no acotado
Forma estándar
Forma canónica
max z = cT x
max z = cT x
sa
Ax≤b
xj ≥ 0 , b ≥ 0
Ver forma
estándar
sa
Ax+Is=b
x≥0,s≥0,b≥0
Ver forma
canónica
maxz = 800 x1 + 500 x2
sa
270 x1 + 200 x2 + s1
x1
x2
x1 +
x2
+ s2
+ s3
= 40,000
= 100
= 120
+ s4 = 170
x1, x2, s1, s2, s3, s4 ≥ 0
x1: número de viviendas tipo I
x2: número de viviendas tipo II
s1, s2, s3, s4 : variables de holgura
Ver forma
estándar
s1, s2, s3, s4 : variables de holgura
Las variables de holgura van asociadas a las
restricciones, así s1 representa lasuperficie del terreno
que no será ocupada por las viviendas, s2 es la
demanda no cubierta de viviendas tipo I, s3 corresponde
a la demanda tipo II no satisfecha y s4 representa lo
correspondiente a la demanda combinada. Las
variables de holgura no se asocian con ningún
coeficiente en la función objetivo, puesto que no son
factores en la determinación del ingreso del proyecto.
cj
cbx1
x2
s1
s2
s3
s4
800
500
0
0
0
0
s1
0
270
200
1
0
0
0
40,000
s2
0
1
0
0
1
0
0
100
s3
0
0
1
0
0
1
0
120
s4
0
1
1
0
0
0
1
170
zj
0
0
0
0
0
0
0
zj - cj
-800
-500
0
0
0
0
variables
básicas
variables
no...
urbano en un terreno de 4 hectáreas. En él se
construirán dos tipos distintos de casas: las viviendas
tipo I que ocupan una superficie de 270 m2 y tendrán
un costo de $800,000, y las viviendas tipo II que
ocupan 200 m2 y con un costo de $500,000. Los
estudios de mercado indican que la demanda máxima
de viviendas de tipo I es de 100 unidades,mientras
que para las de tipo II corresponde a 120 unidades, y
además la demanda máxima combinada es de 170
unidades. Se desea determinar la combinación óptima
de viviendas para lograr un ingreso máximo.
Ver forma
estándar
El primer paso consiste en determinar las variables de
decisión. Este paso es de vital importancia pues una
elección inadecuada de las variables hará imposible laresolución del problema. Por lo general, estas variables
representan los bienes que consumirá o producirá la
empresa. En nuestro problema, los ingresos que tenga
la empresa dependerán del tipo de casas que
construya. Por esto las variables de decisión son:
x1: número de viviendas tipo I por construir
x2: número de viviendas tipo II por construir
Planteamiento del modelo
Una funciónobjetivo a maximizar
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
sujeta a las restricciones
gj(x1, x2, …, xn) = aj1 + aj2 + … + ajn ≤ bj , j = 1, 2, …, m
Que también puede expresarse en forma matricial:
max z = cT x
sa
Ax≤b
Donde x es el vector de variables de decisión, c el
vector de coeficientes del objetivo, A es la matriz de
coeficientes tecnológicos y b el vector de constantes.
Cada viviendatipo I ocupa 270 m2, las de tipo II ocupan
200 m2 y en conjunto no deben exceder las 4 ha.
270 x1 + 200 x2 ≤ 40,000
Leer
cuestionamiento
Demanda de viviendas tipo I.
Ver forma
canónica
x1 ≤ 100
Demanda de viviendas tipo II.
x2 ≤ 120
Demanda combinada.
x1 + x2 ≤ 170
Finalmente planteamos la función objetivo, en este caso
es maximizar el ingreso, en miles de pesos.
max z = 800 x1 + 500x2
Ver primera
iteración
Ver segunda
iteración
Vértice
x1
x2
z
(millones de
pesos)
0
0
0
0
1
100
0
80
2
100
65
112.5
3
85.7
84.3
110.7
4
50
120
100
5
0
120
60
La función objetivo alcanza su valor máximo en un
vértice del conjunto de soluciones factibles. A las
soluciones de estos puntos se lesconoce como
soluciones básicas. Y a la solución que maximiza z se
le llama solución óptima.
soluciones
factibles
z
z
Infactible
Óptimos alternativos
soluciones
factibles
z
Problema no acotado
Forma estándar
Forma canónica
max z = cT x
max z = cT x
sa
Ax≤b
xj ≥ 0 , b ≥ 0
Ver forma
estándar
sa
Ax+Is=b
x≥0,s≥0,b≥0
Ver forma
canónica
maxz = 800 x1 + 500 x2
sa
270 x1 + 200 x2 + s1
x1
x2
x1 +
x2
+ s2
+ s3
= 40,000
= 100
= 120
+ s4 = 170
x1, x2, s1, s2, s3, s4 ≥ 0
x1: número de viviendas tipo I
x2: número de viviendas tipo II
s1, s2, s3, s4 : variables de holgura
Ver forma
estándar
s1, s2, s3, s4 : variables de holgura
Las variables de holgura van asociadas a las
restricciones, así s1 representa lasuperficie del terreno
que no será ocupada por las viviendas, s2 es la
demanda no cubierta de viviendas tipo I, s3 corresponde
a la demanda tipo II no satisfecha y s4 representa lo
correspondiente a la demanda combinada. Las
variables de holgura no se asocian con ningún
coeficiente en la función objetivo, puesto que no son
factores en la determinación del ingreso del proyecto.
cj
cbx1
x2
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s2
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800
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0
0
0
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s1
0
270
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variables
básicas
variables
no...
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