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ÇI.E.P. MARÍA DE NAZARET Piensa en grande, piensa en ti.

QUINTO GRADO – GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

PARA SER TRABAJADO DEL 04 al 17 DE OCTUBRE 2011
RAZONAMIENTO Y DEMOSATRACIÓN


Demuestra identidades trigonométricas

COMUNICACIÓN MATEMÁTICA


Discrimina identidades pitagóricas por cociente y reciprocas.



IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Para que una igualdad trigonométrica quede demostrada sedebe llegar a:


una identidad, es decir, a algo igual a sí mismo; o bien



a cualquiera de las fórmulas trigonométricas.

1. R e l a c i ó n s e n o c o s e n o
cos² α + sen² α = 1
2. R e l a c i ó n s e c a n t e t a n g e n t e
sec² α = 1 + tg² α
3. R e l a c i ó n c o s e c a n t e c o t a n g e n t e

cosec² α = 1 + cotg² α
4. Identidades inversas

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5. Identidades pitagóricas

Tang x = senx / cosx
Cotg x = cosx / senx
POR SIMILITUD CON ALGUNA FÓRMULA:
PROCEDIMIENTO: Se compara la igualdad que debe demostrarse con la fórmula a la que se “parece”. Entonces el
término que es diferente de la fórmula es el que se transforma hasta convertirlo en elcorrespondiente de la
fórmula.

2
2
sen x + cos x = tan x cot x

Ejemplo 1:

Demostrar que

Demostración:

La igualdad propuesta se "parece" a la fórmula (1). De manera que, por comparación, se debe
transformar el lado derecho para convertirlo en 1.
El siguiente esquema muestra la forma de hacer la comparación:
Comparación:

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tan2 x + sen2 x + cos2 x = sec2 x

Ejemplo 2:

Demostrar que

Demostración:

La igualdad propuesta se "parece" a la fórmula (1). De manera que, por comparación, se debe
transformar sen2 x + cos2 x en 1.
El siguiente esquema muestra la forma de hacer la comparación:

Ejemplo 3 : Comprobar que: s e c ² α = 1 + t g ² α

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Ejemplo 4: Demostrar que

 sen x  cos x 

2

 1 2sen xsec x

IMPORTANTE: EJERCICIOS RESUELTOS, QUE TE PUEDEN APOYAR.
Comprobar las identidades trigonométricas:

1

2

3

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4

5

AHORA TÚ:
DEMOSTRAR:

a) sen x sec x = tan x

 cot 2 x  1 sen 2 x



 sen 2 x  cos 2 x  sen x csc x



d) tan 2 x  sen x csc x  sec 2 x

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 tan 2 x cos x  cos 2 x  1


f) cos x csc x  cotx

g) c o s e c ² α = 1 + c o t g ² α



cos θ · sec θ = 1

i)

csc θ · tan θ = sec θ

j)

cos θ · csc θ = cot θ





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APLICO LO QUE APRENDÍ
DEMOSTRAR LAS SIGUIENTES IGUALDADES:

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.
9.

10.
11.

12.

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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES


Sen4 x + cos4 x = 1 - 2 sen2 x . cos2 x



Sen6 x + cos6 x = 1 – 3 sen2 x . cos2 x



Tan x + cot x= sec x . csc x



Sec2 x + csc2 x = sec2 x. csc2 x



(tanx + cotx)2 – (tanx – cotx)2 = 4



Sec2 x + csc2 x = sec2 x . csc2 x



(Sen2 x +cosx)2 + (senx – cos x)2 = 2
APLICACIONES: UTILIZA LO APRENDIDO HASTA EL MOMENTO DE IDENTIDAES TRIGONOMÉTRICAS.

01.

Efectuar.

02.

Reducir:

2
1  cos x   1  cos x  
 1  
 
sen2 x
  senx  

cot x
sec x  tan x

x
 seccot
x  tan x

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