practica

Valores y vectores propios de una matriz

Juan-Miguel Gracia

Valores propios

Polinomio caracter´ıstico

Independencia lineal

Valores propios simples

Diagonalizaci´
on de matrices

´Indice

1

Valores propios

2

Polinomio caracter´ıstico

3

Independencia lineal

4

Valores propios simples

5

Diagonalizaci´
on de matrices

Valores y vectores propios deuna matriz
2 / 28

Valores propios

Polinomio caracter´ıstico

B.

Independencia lineal

Valores propios simples

Diagonalizaci´
on de matrices

Valores y vectores propios

Definiciones.- Dada una matriz cuadrada A de orden 3 se dice que el n´
umero
λ0 es un valor propio de A si existe un vector columna tridimensional c no nulo
t.q.
Ac = λ0 c.
El vector c se llama vectorpropio de A asociado al valor propio λ0 .
Otras terminolog´ıas equivalentes
λ0
valor propio
autovalor
valor caracter´ıstico
eigenvalor

c
vector propio
autovector
vector caracter´ıstico
eigenvector

Valores y vectores propios de una matriz
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Polinomio caracter´ıstico

Valores propios

B.

Independencia lineal

Valores propios simples

Diagonalizaci´
on de matricesM´
etodo para hallar valores y vectores propios, 1

Por definici´
on, un vector propio c debe ser un vector columna distinto de
 
0
0 =  0 .
0
Buscamos λ0 y c tales que
λ0 c = Ac
Esta ecuaci´
on es equivalente a λ0 I3 c = Ac,
3:

1 0
I3 =  0 1
0 0

siendo I3 la matriz unidad de orden

0
0 .
1

El vector c = 0 satisface λ 0 = A0 cualquiera que sea el n´
umero λ.Esta
situaci´
on no interesa, pues cualquier n´
umero ser´ıa valor propio de A.

Valores y vectores propios de una matriz
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Polinomio caracter´ıstico

Valores propios

B.

Independencia lineal

Valores propios simples

Diagonalizaci´
on de matrices

M´
etodo para hallar valores y vectores propios, 4 2

La ecuaci´
on
λ0 I3 c = Ac
es equivalente a
(λ0 I3 − A) c =0
Si c ha de ser distinto de cero, entonces necesariamente el determinante
|λ0 I3 − A|
tiene que ser igual a 0. Una posible manera de hallar el λ0 que buscamos es
construir el polinomio en λ
p(λ) := |λ I3 − A|

(1)

El polinomio p(λ) en la variable λ es de grado 3 y se llama el polinomio
caracter´ıstico de A.

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Polinomiocaracter´ıstico

Valores propios

B.

Independencia lineal

Valores propios simples

Diagonalizaci´
on de matrices

M´
etodo para hallar valores y vectores propios, 5 3

Debemos resolver la ecuaci´
on en la inc´
ognita λ
p(λ) := |λ I3 − A| = 0.

(2)

A continuaci´
on si λ0 es una ra´ız de esta ecuaci´
on, se resuelve el sistema
homog´eneo indeterminado

  
c1
0
(λ0 I3 − A)  c2 =  0 
(3)
c3
0


c1
en las inc´
ognitas c1 , c2 , c3 . Una soluci´
on c =  c2  de (3) con no todas las
c3
componentes c1 , c2 , c3 nulas, proporciona uno de los vectores buscados.

Valores y vectores propios de una matriz
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Valores propios

B.

Polinomio caracter´ıstico

Independencia lineal

Valores propios simples

Diagonalizaci´
on de matricesEjemplo de c´
alculo de un valor y un vector propio, 1

Sea la matriz


1
A = 3
2

−1
2
1


4
−1 
−1

(4)

Vamos a hallar un valor propio y un vector propio asociado. Es preciso resolver
la ecuaci´
on en λ
|λ I − A| =

λ−1
−3
−2

1
λ−2
−1

−4
1
= λ3 − 2λ2 − 5λ + 6 = 0
λ+1

(5)

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Valores propios

B.Polinomio caracter´ıstico

Independencia lineal

Valores propios simples

Diagonalizaci´
on de matrices

Ejemplo de c´
alculo de un valor y un vector propio, 2

Por la regla de

Ruffini

encontramos que λ0 = 1 es una ra´ız de (5):

13 − 2 · 12 − 5 · 1 + 6 = 1 − 2 − 5 + 6 = 0


c1
Para encontrar un vector propio c =  c2  asociado a este λ0 = 1,
c3
resolvemos el sistema...