practica

L1: Simetr´ıa molecular y grupos puntuales

Contenido

Cap´ıtulo 1
Simetr´ıa molecular y representaci´
on matricial
de los grupos puntuales de simetr´ıa
Geometr´ıa molecular. Simetr´ıa puntual, elementos y operaciones de simetr´ıa. Grupos de
operaciones de simetr´ıa. Los grupos de simetr´ıa molecular. Simetr´ıa de mol´eculas prototipo.
Teor´ıa de las representaciones matriciales de losgrupos. Tablas de caracteres de los grupos
puntuales de simetr´ıa. Producto directo de representaciones. Base de vectores propios de las
irreps de un grupo. Operadores de proyecci´
on. Aplicaciones: actividad ´
optica, propiedades
vectoriales y tensoriales, vibraciones moleculares.

c V´ıctor Lua˜
na, 2002

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L1: Simetr´ıa molecular y grupos puntuales

Simetr´ıa molecularSimetr´ıa puntual, elementos y operaciones de simetr´ıa
Una operaci´
on de simetr´ıa transforma la orientaci´
on o la geometr´ıa interna de la mol´
ecula de tal
modo que la disposici´
on inicial y la final son equivalentes (indistinguibles) y todas las propiedades
moleculares se mantienen inalteradas.
En una mol´
ecula finita existe siempre un punto cuya posici´
on no cambia debido a ningunaoperaci´
on
de simetr´ıa. Este punto debe coincidir con el centro de masas.
Elemento de simetr´ıa: Toda operaci´
on de simetr´ıa molecular est´
a relacionada con un elemento
geom´
etrico, l´ınea, plano o punto.
Rotaciones propias
Operaci´
on

Elemento

Rotaciones impropias

Rotaci´
on
ˆm
C
n

Identidad
ˆ=C
ˆn
E

R. impropia
Sˆm
n

inversi´
on
ˆi = Sˆ1

reflexi´on
σ
ˆ = Sˆ1

Eje Cn

CM: E

Eje Sn

Centro i

Plano σ

n

2

1

En los ejes propios (Cn ) o impropios (Sn ) el valor n recibe el nombre de orden del eje. El eje propio
de mayor orden se denomina eje principal, y toda la simetr´ıa suele referirse a ´
el.
Los planos de simetr´ıa suelen distinguirse por su orientaci´
on respecto del eje principal: σh (horizontal
operpendicular), σv (vertical) o σd (di´
edrico).
La orientaci´
on de los elementos de simetr´ıa suele indicarse entre par´
entesis. Ej: C3 (z).
c V´ıctor Lua˜
na, 2002

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L1: Simetr´ıa molecular y grupos puntuales

Simetr´ıa molecular

C3
C2 S 4

C2

C3
σ

C2

σh
C2
Elementos de simetr´ıa de PCl3 (izquierda) y CH4 (derecha, modelos OFF y VRML).
Simetr´ıa:

c V´ıctor Lua˜na, 2002

Elementos

PCl3

C3 (z), 3C2 , σh , 3σv , S3 (z)

CH4

4C3 , 3C2 , 6σd , 3S4

Operaciones
ˆ 2C
ˆ3 , 3C
ˆ2 , σ
12: E,
ˆh , 3ˆ
σv , 2Sˆ3 (z)
ˆ 8C
ˆ3 , 3C
ˆ2 , 6ˆ
24: E,
σd , 6Sˆ4
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L1: Simetr´ıa molecular y grupos puntuales

Simetr´ıa molecular

Producto de operaciones de simetr´ıa: El producto de dos operaciones
ˆ=A
ˆB
ˆ que resulta de realizarprimero B
ˆ sobre la mol´
C
ecula y despu´
es

ˆ y B
ˆ es otra operaci´
A
on
ˆ
A.

En nuestro convenio los ´
atomos se mueven en tanto que el sistema de ejes de referencia permanece
invariante.
1
2

σv’’

σv’
C3

2

σ^v’’
1

3

σv

3

3

^σ ’

^1
C
3

v

2
1
ˆ1σ
La figura muestra que en el CO−2
σ
ˆv = C
3 ˆv
3
c V´ıctor Lua˜
na, 2002

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L1:Simetr´ıa molecular y grupos puntuales

Simetr´ıa molecular

ˆB
ˆ C)
ˆ = (A
ˆB)
ˆ C.
ˆ
La multiplicaci´
on de operaciones es asociativa: A(
En general, el producto de operaciones de simetr´ıa no es conmutativo, sino que depende del orden
de los factores:
2

3

^1
C3

^ ’’
σ
v
1

σv’’

σv’

1

3

2

1

C3
2

3
3

σv

1

^ ’’
σ
v

^1
C3

1
cV´ıctor Lua˜
na, 2002

2

3

2

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L1: Simetr´ıa molecular y grupos puntuales

Simetr´ıa molecular

El conjunto de todas las operaciones de simetr´ıa de una mol´
ecula junto con la ley de multiplicaci´
on
de operaciones satisface todas las propiedades matem´
aticas para ser un grupo:
Cierre: El producto de dos operaciones de simetr´ıa cualesquiera del grupo tambi´
en es...