Practica03 Ma1001 2008

Universidad de Costa Rica
Escuela de Matemática
Departamento de Matemática Aplicada
Ma 1001 Cálculo I

Ejercicios Adicionales #3
Derivadas & Continuidad
Primer Ciclo de 2008
Prof. Marco Alfaro C.1

1. Calcule la primera derivada de las siguientes funciones. No simpli…que.
1
x

a) f (x) =

b) f (x) =

c) f (x) =

4

x2

(7x

f) f (x) = x2 sec x

6)

sen 6x6 + x 12
p
x + tan x
p
4

d) f (x) =

e) f(x) = x

5

x2 + 1

x tan

p
x+ x
sen (6x)
1+

1
x

g) f (x) =

1
x

h) f (x) =

x2 + 1
tan (5x) 1

i) f (x) =

r

sen2 x
1 + cos x

3

j) f (x) =

2. Veri…que que las curvas y = 4x2 + 2x 8 y y = x3
3. Demuestre que la función y =

x3 + 4x + x cos2

s

2

tan (5x)

p

p
43x+1

3

5

1
x

cos3 (2x)
q
x + x1

x + 10 son tangentes en el punto P (3; 34) :

x2 + 2x + 2
satisface la ecuacióndiferencial
2
1+

2

dy
dx

= 2y

d2 y
:
dx2

4. Determine las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal a la curva y 4 = 4x4 + 6xy en el
14
13
41
punto P (1; 2) :
R/ Tangente: y = 13
x + 12
13 ; Normal:
14 x + 14 :
5. Suponga que f es una función de…nida en R que cumple que
lim

x!3

f (x)
x

f (3)
=1
3

y

lim

x!3+

f (x)
x

f (3)
=
3

¿Qué se puede a…rmar de f 0 (3)? Justi…que.

1:
R/ Noexiste.

6. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva x5 + y 5

2xy = 0; en el punto P (1; 1) :
R/ y =

7. Encuentre la derivada

dy
dx ;

en el punto P (4;

4) si xy 2 = 8 (x

y) :

x + 2:

R/ y 0 =

1
3:

8. La recta que es tangente a la grá…ca de y = f (x) en el punto P (2; 5) pasa por el punto Q ( 1; 1) :
Calcule f (2) y f 0 (2) : Justi…que.
R/ f (2) = 5; f 0 (2) = 34 :
1 Basado

en parteen Exámenes de la Cátedra.

1

9. La función f de…nida por
f (x) =

8
>
>
< x2 sen
>
>
:

1
x

; si x 6= 0:

0, si x = 0:

es derivable en x = 0: Calcule f 0 (0) y determine si f es continua en x = 0. Justi…que.
R/ f 0 (0) = 0: Es continua.

10. Veri…que que la función f de…nida por
f (x) =

es continua en x0 =

2.

8
< sen (2x) ; si x 6=
:

1, si x =

2:

2:

11. La función f (x) esindeterminada en el punto x = 0, determine f (0) de forma que f sea continua
en este punto si

(a) f (x) =

1

(b) f (x) = 1
12. Veri…que que

d2 y
dx2

cos x
:
x2
x sen x1 :
=

1
y3

R/ f (0) =

1
2

R/ f (0) = 1:

en todos los puntos de la curva de…nida por la ecuación y 2

x2 = 1:

13. Encuentre los valores de las constantes b; c que hacen que la recta y = x sea tangente a la parábola
f (x) = x2 + bx + c;en el punto P (1; 1) :
R/ b = 1; c = 1:
14. Si h (2) = 4; h0 (2) =

3 y f (x) =

h (x)
: Calcule f 0 (2) :
x

R/ f 0 (2) =

5
2:

(a) Enuncie, correctamente, el Teorema del Valor Intermedio.
(b) Demuestre que la ecuación 4x3

6x2 + 3x

2 = 0 tiene una solución en el intervalo ]1; 2[ :

Justi…que.

(c) Demuestre que la ecuación x3

3x + 1 = 0 tiene una solución en el intervalo [1; 2] : Justi…quesu respuesta.

(d) Demuestre que la ecuación x3 + x

1 = 0 tiene una solución en el intervalo [0; 1] : Justi…que.

3

(e) Demuestre que la ecuación 2x + x2 + 2 = 0 tiene una solución en el intervalo [ 2; 1] :
Justi…que.

(f) Muestre que los grá…cos de las funciones g (x) = sen x y f (x) = 1
intervalo 0; 2 : Justi…que.

x se intersecan en el

15. Demuestre que las rectas tangentes a la curvade…nida por x4 + y 4 = xy + 1; en los puntos P (0; 1)
y Q (0; 1), respectivamente, son paralelas.
16. Un hombre está en un muelle y tira un bote por medio de una cuerda. Sus manos están a 3 m por
encima del amarre del bote. El bote está a 3.6 m del muelle. Si el hombre tira de la cuerda a una
velocidad de 90 cm/s, ¿a qué velocidad se aproxima el bote al muelle?
R/ dx
dt = 2: 4 m/s.

2

17. Una escalerade 10 pies de longitud se apoya contra una pared vertical. Si la parte inferior de la
escalera se desliza, alejándose de la pared, a una velocidad de 2 p/s, ¿con qué velocidad cambia el
ángulo formado por la parte superior de la escalera y la pared, en el instante en que estepángulo
R/ ddt = 52 p/s.
mide 4 :

18. Un cubo de hielo se derrite de modo que su arista decrece 2 cm cada hora. ¿Con qué...