Practica1

Universidad de Concepci´on
Facultad de Ciencias F´ısicas y Matem´aticas
Departamento de Matem´atica

Pr´actica 1: C´alculo III
Problema 1. En cada caso, graficar y encontrar el conjunto de puntosinteriores, de acumulaci´on,
de adherencia, de frontera y de puntos aislados. Indicar adem´as si los conjuntos dados son abiertos,
cerrados y compactos.
a) A =

1
n

:n∈N .

b) B = A ∪ {0}.
c) C = {(x,y) ∈ R2 : 0 < 2 |x| + |y| < 1} ∪ {(x, y) ∈ R2 : 16 ≤ x2 + 4y 2 < 64}.
d) D = {(x, y) ∈ R2 : x2 < y ≤ x} ∪ {(0, y) : 1 ≤ y < 2} ∪ {(x, y) ∈ R2 : x2 = 4, y = 0}.
e) E = {(x, y, z) ∈ R3 : z 2 > x2 + y 2 ,x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}.
f) F = {(3, 2, 1)}.
g) G = R2 − {(0, 0)}.
h) H = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤

x2 + y 2 , 4 ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ 16}.

Problema 2. Sea A ⊂ Rn .
a) ¿Es el interior de Fr (A) vac´ıo?.b) Si n = 1, determinar A de manera que int (A), A y A sean distintos.
Problema 3. Probar que las siguientes desigualdades son v´alidas para cada (x, y) = (0, 0).
a)

x2 y
≤ |y| ≤ (x, y) .
x2 + y 2b)

c)

y 3 sen x3
1
≤
(x, y) 2 .
4
4
x +y
2

d)

e)

x2 y
(x4 + y 4 + |x|)

x2 + y 2

≤ |y|.

Problema 4. Analizar la existencia de

f)
l´ım
(x,y)→(0,0)

anterior.

xy(x2 − y 2 )
≤ |x||y| ≤ (x, y) 2 .x2 + y 2
sen
x2

+

y2

|xy|
1/2

+ |x|

≤ |y|1/2 .

x3 + |y|3
+ 2x + y ≤ 5 (x, y) .
x2 + y 2

para cada funci´on en valor absoluto del problema

Problema 5. Considerar las funciones f, g : R2 → Rdefinidas como sigue:


x3
x3 + |y|3




, x−y =0

 2
+
2x
+
y
−
1
,
(x,
y)
=
(0,
0)
x−y
x + y2
, y g(x, y) =
f (x, y) =






0
, x−y =0
−1
, (x, y) = (0, 0)
a) ¿Es f continua en R2 ?.
b)Calcular las derivadas parciales de primer orden de f y g en (0, 0) y en (2, 1) para f y g, en caso
que existan.
c) Encontrar el conjunto de nivel N1 =

(x, y) ∈ R2 : g(x, y) = 1 y probar que (0, 0)∈ N1 .

d) ¿Es g continua en (0, 0)?.
e) Si uˆ = (a, b) es una direcci´on, calcular, en caso que existan,

∂f
∂g
(0, 0) y
(0, 0).
∂ uˆ
∂ uˆ

Para trabajar en la casa
1. Analizar la continuidad de...