practica1

PRÁCTICA 1
Sistemas eléctricos de primer y segundo orden

Objetivo: Determinar la resistencia interna de un generador.
Realizar mediciones de la constante de tiempo de circuitos de primer orden pasa-bajas y de los
parámetros de diseño de un circuito de segundo orden, mediante la respuesta al escalón.
Determinar el valor de los elementos que constituyen el circuito eléctrico, a partir de lasmediciones anteriores.

Teoría básica
Sistema de primer orden.
La función de transferencia de un sistema de primer orden pasa-bajas es de la siguiente forma
H(s) =

M

(1)

τs + 1

Respuesta al escalón.
Si a un sistema de primer orden, con una condición inicial igual a cero, se le aplica una entrada escalón de
amplitud k, la transformada de Laplace de su respuesta de estado cero es
Yzs (s) =

M

k(2)

τs + 1 s

antitransformando la ecuación anterior, se tiene
-

t

y zs (t) = Mk(1 − e τ )u −1 (t)

(3)

Las gráficas de la entrada escalón y la respuesta de estado cero correspondiente se muestran en la Fig. 1.
Constante de tiempo.
Se define como constante de tiempo de un sistema de primer orden, al tiempo que debe transcurrir para que la
respuesta al escalón del sistema alcance el 63.2% de suvalor final. En la Fig. 1(b), se observa que la respuesta
de estado cero alcanza dicho valor cuando t = τ.
De la Ec. (3) puede notarse que
y zs ( τ) = 0.632Mk
esto es, transcurren τ segundos, a partir de la aplicación de la entrada para que la salida alcance el 63.2% de
su valor final.

3

(a)

(b)

Figura 1. Respuesta al escalón de un sistema de primer orden. (a) Entrada. (b) Salida.
Sistema desegundo orden.
La función de transferencia de un sistema de segundo orden es de la forma
2

H(s) =

ωn
2

(4)

2

s + 2ςω n s + ω n

Respuesta al escalón.
La transformada de Laplace de la respuesta al escalón, cuando las condiciones iniciales son nulas, es
2

Yzs (s) =

kω n
2

(5)

2

s(s + 2ςω n s + ω n )

donde k representa la magnitud del escalón.
Dependiendo del valor de ζ en la Ec. (5), sepueden presentar las siguientes tres formas para la respuesta al
escalón
I)

0 ≤ ς <1






y zs (t) = k  1 −

ii)

e

1− ς

2






2

sen ω n 1 − ς t + tag

−1

 1−ς2

 ς



   u (t)
   −1


(6)

ς =1

(

y zs (t) = k 1 − e
iii)

− ςω n t

−ωn t

(1 + ω n t ))u −1 (t)

(7)

ς >1

4

−s t
−s t

e 2 
ωn e 1

 u −1 (t)

y zs (t) = k 1 +
−

 2 ς2 − 1  s
s
2 
1


(8)

donde

(

2

(

2

s1 = ω ς + ς − 1
n

)

s 2 = ωn ς − ς − 1

)

En la Fig. 2 se muestran las diversas respuestas de estado cero cuando la entrada es un escalón unitario, k = 1,
para cada uno de los casos anteriores.

Figura 2. Respuesta al escalón normalizada de un sistema de segundo orden, para distintos valores del
coeficiente ζ.
Especificaciones de la respuesta transitoria.Considere el caso en el que 0 < ζ < 1. Para un valor de ζ dentro del intervalo anterior, la respuesta de estado
cero cuando la entrada es un escalón unitario se muestra en la Fig. 3. En dicha figura, se observan además
algunas especificaciones que son de importancia en la caracterización de un sistema.
A continuación se explica el significado de cada una de las especificaciones mencionadas.
td (Tiempo deretardo):

Es el tiempo que transcurre para que la respuesta de estado cero
alcance el 50% de su valor final.

5

Figura 3. Respuesta al escalón cuando 0 < ζ < 1.

tr (Tiempo de levantamiento):

Es el tiempo que transcurre para que la respuesta de estado cero
pase del 10 al 90 % del valor final. En sistemas subamortiguados
se define como el tiempo necesario para que la respuesta alcance
el valorfinal por primera vez.

de la Ec. (6)
tr =

π−φ
ωn 1 − ς

tp (Tiempo de sobrepaso):

2

donde φ = cos −1 ζ

(9)

Tiempo que transcurre para que la respuesta de estado cero
alcance su valor máximo.

6

de la Ec. (6)
tp =

π
ωn 1 − ς

(10)

2

Mp (Sobrepaso o sobretiro):

El sobrepaso se define en la siguiente ecuación

( )

y t p − yp

Mp =

(11)

yp

donde y p = lim y(t)
t →∞

Se acostumbra...