Practica1

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA ELECTRICA
ANALISIS NUMERICOS
PRACTICA 1: METODOS NUMERICOS BISECCIÓN Y REGLA FALSA
ALUMNO: BARRIOS JARA RAFAEL
BOLETA:2007300129
GRUPO: 3AV6
PROFESOR: JIMENEZ GUZMAN MIGUEL


Marco teórico.

Método de bisección.

El método de bisección, conocido también como de corte binario, de partición deintervalos o de Bolzano, es un tipo de búsqueda incremental en elque el intervalo sedivide siempre a la mitad. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa elvalor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola enel punto medio del subintervalo, dentro del cual ocurre un cambio de signo. El procesose repite hasta obtener una mejor aproximación.
El intervalo donde se localiza la raíz se divide a la mitad en cadapaso del proceso, el ancho del intervalo proporcionauna estimación exacta del límite superior del error.

Algoritmo de método de bisección.

Paso 1. Elija valores iniciales inferior, , y superior, , que encierran la raiz, de forma ta que la funcion cambie del signo en el intervalo. Esto se verifica comprobando que:

Paso 2. Una aproximacion de la raiz, se determina mediante: .
Paso 3. Realicelas siguientes evaluciones para determinar en qué subintervalo está la raíz:
a) Si , entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo inferior o izquierdo. Por lo tanto, haga y vuelva al paso 2.
b) Si , entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo superior o derecho. Por lo tanto, haga y vuelva al paso 2.
c) Si , la raiz es igual a ; termina el calcullo.

Criterios de paro yestimaciones de errores.

Ahora se debe desarrollar un criterio objetivo para decidir cuándo debe terminar el método.
Una sugerencia inicial sería finalizar el cálculo cuando el error verdadero se encuentre por debajo de algún nivel prefijado. Puede decidirse que el método termina cuando se alcance un error más bajo, por ejemplo, al 0.1%. Dicha estrategia es inconveniente, si la estimación del error sebasa en el conocimiento del valor verdadero de la raíz de la función. Éste no es el caso de una situación real, ya que no habría motivo para utilizar el método si se conoce la raíz. Por lo tanto, se requiere estimar el error de forma tal que no se necesite el conocimiento previo de la raíz. Se puede calcular el error relativo porcentual ea de la siguiente manera:



Método de regla falsa.

Auncuando la bisección es una técnica preferentemente valida para determinar raíces, su método de aproximacion por “fuerza bruta” es relativamente ineficiente. El metodo de regla falsa es una alternativa basada en una visualizacion gráfica.

Un inconveniente del método de bisección es que al dividir el intervalo de a en mitades iguales, no se toman en considerción las magnitudes de y . Por ejemplo, siestá mucho más cercana a cero que , es lógico que la raíz se encuentre más cerca de que de . Un metodo alternativo que aprovecha esta visualizacion gráfica consiste en unir y con una linea recta. La interseccion de esta linea con el eje de las X representa una mejor aproximacion de la raíz. El echo de que se reemplace la curva por una línea recta de una “falsa posicion” de la raíz; de aquí elnomre de método de la regla falsa. Tambien se le conose como el método de interpolacion lineal.

Usando triangulos semejantes como se muestra en la siguiente figura:



La intersección de la línea recta con el eje X se estima mediante:

De la cual se despeja quedando:


Ésta es la formula de la regla de la falsa pocision. El valor de calculado con la ecuacion anterior, remplazara, despues, acualquiera de los dos valores iniciales, , y da un valor de la funcion con el mismo signo de . De esta manera, los valores de siempre encierran la verdadera raiz, el proceso se repite hasta que la aproximacion a la raíz sea adecuada. El algoritmo es identico al de la biseccion excepto en la ecuacion anterior, que se usa en el paso 2. Ademas, se usa el mismo criterio de terminacion para concluir...