PracticaInduccion

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´
C´
atedra de C´
alculo y Algebra
Lineal
Pr´
actica de inducci´
on y recursividad
1. Utilice el m´etodo de inducci´on matem´atica para demostrar que las siguientes igualdades son verdaderas, paratodo n ≥ 0 ´o n ≥ 1, seg´
un corresponda:
n(n + 1)
2
n(3n + 1)
(b) 2 + 5 + 8 + · · · + (3n − 1) =
2
(c) 3 + 11 + · · · + (8n − 5) = 4n2 − n
(a) 1 + 2 + 3 + · · · + n =

(d) 1 · 2 + 2 · 4 + 3 · 8 + ·· · + n · 2n = 2 + (n − 1)2n+1
n(2n − 1)(2n + 1)
(e) 1 + 9 + 25 + · · · + (2n − 1)2 =
3
n(n + 1)(2n + 1)
2
2
2
2
(f) 1 + 2 + 3 + · · · + n =
6
2
n (n + 1)2
(g) 13 + 23 + 33 + · · · + n3 =
4
(h) 13 + 33+ 53 + · · · + (2n − 1)3 = n2 (2n2 − 1)
(i) 1 + 2 + 22 + · · · + 2n = 2n+1 − 1
2
2 2
1
(j) + + · · · + n = 1 − n
3 9
3
3
1
1
1
n
(k)
+
+ ··· +
=
1·3 3·5
(2n − 1)(2n + 1)
2n + 1
2. Utilice el m´etodode inducci´on matem´atica para demostrar que las siguientes proposiciones son verdaderas, para todo n ≥ 1:
(a) n4 + 2n3 + n2 es divisible por 4
(b) n(n + 1)(n + 2) es divisible por 6
(c) n3 + 11n esdivisible por 6
(d) 32n+1 + 2n+2 es divisible por 7
(e) 32n − 1 es divisible por 8
(f) 3n + 7n − 2 es divisible por 8
(g) 4n + 15n − 1 es divisible por 9
(h) 10n + 3 · 4n+2 + 5 es divisible por 9
3.Utilice el m´etodo de inducci´on matem´atica para demostrar la validez de las siguientes
desigualdades:
(a) 1 +

1
n
1 1
+ + · · · + ≤ + 1, para n ≥ 1
2 3
n
2

2
(2n + 1)2
, para n ≥ 1
8
n3
(c) 12 + 22+ · · · + (n − 1)2 <
, para n ≥ 2
3
n2 (n + 1)
(d) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + (n − 1)n <
, para n ≥ 2
3
(b) 1 + 2 + 3 + · · · + n ≤

4. Determine la f´ormula expl´ıcita, y pru´ebela porinducci´on, para la sucesi´on definida
por recurrencia por
(a) an = 3an−1 + 1 con a1 = 5.
(b) an = an−1 + 5 con a1 = 3.
5. Considere an = 5an−1 − 6an−2 , si n ≥ 2, con a0 = −1, a1 = 0. Utilice ´esta f´ormulapara encontrar el valor de a4 y a7 .
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6. Para la siguiente sucesi´on de n´
umeros: 0, 1, 12 , 34 , 58 , 16
, . . . , cada uno de los n´
umeros
que aparecen, salvo los dos primeros, son el...