PracticaIParcialMAT003II2015 2

Universidad Nacional.
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.
Escuela de Matem´
aticas.
MAT003 C´
alculo II.
Pr´
actica I parcial.
1. Determinar la ecuaci´on del plano tangente a lasuperficie
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 = 1,
a2
b
c
en el punto (x0 , y0 , z0 ).
2. Determinar la ecuaci´on del plano tangente a la superficie
xyz = 1,
en el punto (1, 1, 1).
3. Determinar laecuaci´on del plano tangente a la superficie
z = a(x2 + y 2 ),
en el punto (x0 , y0 , z0 ).
4. Si w = f (u, v), donde u = x3 − 2y 2 y v = 2y 2 − x3 , compruebe que
3x2 wy − 4ywy = 0
.
5. Sea w =f (u, v) donde u = arctan(y/x) y v = ln(x2 + y 2 ). Calcular wx , wy , wyy y wxx .
6. Sea w = f (u, v) donde u =
7. Sea w = f (xy) +

√

y
y
y
v
=
. Calcular wx , wy , wyy y wxx .
x2 + y2
x2 + y 2

xyg(y/x). Compruebe que se cumple que
x2 uxx − y 2 uyy = 0.

8. Obtener y clasificar los puntos cr´ıticos de las siguientes funciones.
(a) f (x, y) = x3 y 2 (6 − x − y).
(b) f(x, y) = ex−y (x2 − 2y 2 ).
(c) f (x, y) = x3 + y 3 − 6xy.
(d) f (x, y) = x2 − xy + y 2 − 2x + y.
9. Determinar el valor m´aximo y m´ınimo de la funci´on f (x, y, z) = 2x + 3y + z sobrela
superficie 4x2 + 3y 2 + z 2 − 20 = 0.
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10. Determinar el valor m´aximo y m´ınimo de la funci´on f (x, y, z) = xyz bajo las restricciones
x2 + y 2 + z 2 = 81 y x + y + z = 15.
11.Determinar el valor m´aximo y m´ınimo de la funci´on f (x, y, z) = x + y + z bajo las
restricciones x2 + y 2 = 2 y x + z = 1.
12. Una caja tiene tres caras en los planos coordenados, y unv´ertice en el primer octante,
y sobre la superficie z = a − x2 − y 2 , con a > 0. Hallar las dimensiones de la caja de
volumen m´aximo.
13. Hallar el volumen m´aximo de una cajarectangular, si la suma de las longitudes de sus
aristas es 12a.
14. Hallar la caja rectangular de mayor volumen inscrita en una semiesfera (media esfera)
x2 + y 2 + z 2 = r2 con z > 0.

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