Practicas De Control

Controlabilidad

Se dice que un sistema es controlable en el tiempo si se puede transferir desde cualquier estado inicial a cualquier otro estado, mediante un vector d control sin restricciones, en un i t di t t de t l i ti i intervalo d l de tiempo finito. Controlabilidad completa de estado de sistemas de tiempo continuo. Sea el sistema en tiempo continuo.

& x = Ax + Bu
Donde: x = vectorde estado (n×1) u = señal de control (r×1) y = vector de salida (m×1) A = matriz de estado (n×n)

Se dice que un sistema descrito mediante la ecuación anterior es de estado controlable en t = t0, si es posible construir una señal de d control sin restricciones que t t l i ti i transfiera un estado i i i l a fi t d inicial cualquier estado final en un intervalo de tiempo finito t0 ≤ t ≤ t1. Sitodos los estados son controlables, se dice que el sistema es de estado completamente controlable controlable. El sistema de estado completamente controlable si y solo si, los vectores B, AB,….An-1B son linealmente independiente, o la matriz n × n

[ B M AB MKM A B]
n −1

Matriz de controlabilidad.

Es de rango n

Este resultado se extiende al caso en el que el vector de control es unvector de dimensión r, se demuestra que la condición para controlabilidad completa del estado es que la matriz n × nr

[ B M AB MKM A B]
n −1

sea de rango n, o que tenga n vectores columna linealmente independientes.

Ejemplo 1: Obtenga la matriz de controlabilidad y demuestre que el sistema es de estado completamente controlable.

& ⎡ x1 ⎤ ⎡− 1 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡2⎤ ⎢& ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢5⎥ u ⎣ x2 ⎦ ⎣ 0 − 2⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦
La matriz de controlabilidad es:

⎡ ⎡ 2⎤ ⎡ − 1 0 ⎤ ⎡ 2⎤ ⎤ ⎡ ⎡2⎤ ⎡ − 2 ⎤ ⎤ [ B M AB ] = ⎢ ⎢5⎥ M ⎢ 0 − 2⎥ ⎢5⎥ ⎥ = ⎢ ⎢5⎥ M ⎢− 10⎥ ⎥ ⎦⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

⎡2 − 2 ⎤ [ B M AB ] = ⎢ 5 − 10⎥ ⎣ ⎦
Obteniendo el determinante

Matriz de controlabilidad

2 −2 = −10 5 − 10

Por lo que el rango sería 2

Como el rango de la matriz de controlabilidad es n o sea 2,el sistema es de estado completamente controlable. p

Ejemplo 2: Obtenga la matriz de controlabilidad y demuestre que el sistema es de estado completamente controlable.

& ⎡ x1 ⎤ ⎡1 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤ ⎢& ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢0 ⎥ u ⎣ x2 ⎦ ⎣0 − 1⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦
La matriz de controlabilidad es:

⎡ ⎡1⎤ ⎡1 1 ⎤ ⎡1⎤ ⎤ [ B M AB ] = ⎢ ⎢ ⎥ M ⎢ ⎥ 0⎦ ⎣0 − 1⎥ ⎢0⎥ ⎥ ⎢⎣ ⎦⎣ ⎦⎦ ⎣

⎡ ⎡1⎤ ⎡1⎤ ⎤ = ⎢ ⎢ ⎥ M ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎣0 ⎦⎣0 ⎦ ⎥ ⎣ ⎦

⎡1 1⎤ [ B M AB ] = ⎢ ⎥ ⎣0 0 ⎦
Obteniendo el determinante

Matriz de controlabilidad

1 1 =0 0 0

El rango no es 2

Como el rango de la matriz de controlabilidad no es n o sea 2, el sistema no es de estado completamente controlable.

Ejemplo 3: Obtenga la matriz de controlabilidad y demuestre que el sistema es de estado completamente controlable.

& ⎡ x1 ⎤ ⎡1 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤⎡0⎤ ⎢& ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢1⎥ u ⎣ x2 ⎦ ⎣2 − 1⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦
La matriz de controlabilidad es:

⎡ ⎡ 0 ⎤ ⎡1 1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎤ [ B M AB ] = ⎢ ⎢ ⎥ M ⎢ ⎥ 1⎦ ⎣2 − 1⎥ ⎢1⎥ ⎥ ⎢⎣ ⎦⎣ ⎦⎦ ⎣

⎡ ⎡0 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎤ = ⎢ ⎢ ⎥ M ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎣1⎦ ⎣− 1⎦ ⎥ ⎣ ⎦

⎡0 1 ⎤ [ B M AB ] = ⎢1 − 1⎥ ⎣ ⎦
Obteniendo el determinante

Matriz de controlabilidad

0 1 = −1 1 −1

Por lo que el rango sería 2

Como el rango de la matriz decontrolabilidad es n o sea 2, el sistema es de estado completamente controlable.

Controlabilidad de la salida de sistemas de tiempo continuo.

En el diseño práctico de un sistema de control, se puede necesitar controlar l salida en l it t l la lid lugar d l estado d l sistema. U del t d del i t Una controlabilidad completa del estado no es condición necesaria ni suficiente para controlar la salida delsistema. Por esta razón, es conveniente definir de forma independiente la controlabilidad completa de la salida.

Sea el sistema en tiempo continuo

& x = Ax + Bu x u
y = Cx + Du
Donde: x = vector de estado (n×1) u = señal de control (r×1) y = vector de salida (m×1) A = matriz de estado (n×n) C = Matriz de salida (m×n) B = matriz de entrada (n×r) D = Matriz de transmisión directa (m×r)...