Practicas De Procesamiento

Gu´ıa 1: Ejercicios sobre transformada z

Alumno: Guillermo M. Tabeni Couvert Profesor: Ing. Carlos A. Espinoza J.T.P.: Ing. Daniel R. Graff
C´atedra de Ingenier´ıa Industrial
Universidad Tecnologica Nacional, F.R.A.

2 de julio de 2007


Objetivo: Realizar distintos ejerciciosnum´ericos de mano y con el uso de Matlab.


Ejercicio 1

Para la funci´on Y (z), determinar los polos y ceros y ubicarlos dentro del plano z. Los teoremas del valor inicial y final son aplicables en dicha funcion. ¿Por qu´e? Hallar sus valores.

0, 792z2
Y (z) = (z

− 1)(z2

− 0, 416z + 0, 208)


Para hallar los polos y ceros de Y (z),introducimos los comandos:
z=tf(’z’);
Yz=.792*z^2/((z-1)*(z^2-0.416*z+.208)) [ceros,polos,K]=zpkdata(Yz,’v’)

Vemos que hay un cero doble en el origen, un polo real en 1 y un par de polos complejos conjugados:
ceros =
0
0 polos =
1.0000
0.2080 + 0.4059i
0.2080 - 0.4059i
K =
0.7920

Ahora, graficamos el plano z conlos ceros y polos obtenidos:
[num,den]=tfdata(Yz,’v’);
zplane(num,den)
zgrid

Por el teorema del valor inicial:

y(t = 0) = l´ım Y (z) = l´ım
0, 792z2
z→∞



Por el teorema del valor final:
z→∞ z3 − 1, 416z2 + 0, 624z − 0, 208
= l´ım 0, 792/z = 0
z→∞ 1 − 1, 416/z + 0, 624/z2 − 0, 208/z3
y(t → ∞) = l´ım [1 − z−1 Y (z)] =l´ım z −
0, 792z2
z→1
z→1

= l´ım
z (z − 1)(z2 − 0, 416z + 0, 208)
0, 792z = 1
z→1 z2 − 0, 416z + 0, 208

Estos teoremas son aplicables porque, por definicion, existen los l´ımites calculados.


Alumno: Guillermo Tabeni, UTN, FRA, 2007 1/11

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Ejercicio 2

Obtenga la transformada z de la siguientefuncion donde a es una constante. Grafique y compare en
Matlab la funcion en tiempo continuo y la funcion en tiempo discreto.

1
x(t) =
(1 e−at )
a


Distribuyendo, tenemos


x(t) =

1 e−at
a − a
Luego, por la transformada del escal´on y la propiedad lineal de la transformada z,

X (z) =

1
a(1 − z−1 )

1
−a(1 − e−ak z−1 )
1 − e−ak z−1 − 1 + z−1
a(1 − z−1 )(1 − e−ak z−1 )
1 z−1 (1 e−ak )
=




(1)
a 1 − z−1 (1 + e−ak ) + z−2 e−ak

En el Matlab comparamos la respuesta del sistema continuo (en rojo) con la del sistema discreto (azul):num=[0 1-exp(-1) 0];
den=[1 -1-exp(-1) exp(-1)];
t=0:0.2:10; xt=(1-exp(-t)); plot(t,xt,’r’) hold; impz(num,den)













Alumno: Guillermo Tabeni, UTN, FRA, 2007 2/11

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Ejercicio 3

Para la funcion G(z) = Y (z)/X (z), hallar la transformada inversa z mediante el m´etodo Matlab (comando
filter) hasta k = 10.Graficar la secuencia (comando stem).

Y (z) = 0, 01409z3 + 0, 028z2 + 0, 01409z


X (z) = z3 − 2, 7624z2 + 2, 5811z − 0, 8187



Con el siguiente programa graficamos los 10 primeros elementos de la secuencia de Y (z)/X (z).

num=[0.01409 0.028 0.01409 0]; den=[1 -2.7624 2.5811 -0.8187]; Xz=[1 zeros(1,10)];Yz=filter(num,den,Xz);
n=0:1:10; stem(n,Yz); xlabel(’k’);


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Alumno: Guillermo Tabeni, UTN, FRA, 2007 3/11
Ejercicio 4

Para la ecuaci´on en diferencias encontrar la serie en forma recursiva realizando un programa en Matlab. Luego, hallar la transformada Z mediante calculo de mano y luego, mediante el m´etodo de Matlab (comando filter), encontrar la...